ما هو نموذج هيث-جارّو-مورتون (HJM)؟
نموذج هيث-جارّو-مورتون (HJM Model) يُستخدم لنمذجة معدلات الفائدة الآجلة. يتم بعد ذلك نمذجة هذه المعدلات على هيكل زمني قائم لـ معدلات الفائدة لتحديد الأسعار المناسبة للأوراق المالية الحساسة لمعدلات الفائدة.
النقاط الرئيسية
- يُستخدم نموذج هيث-جارّو-مورتون (HJM Model) لنمذجة معدلات الفائدة الآجلة باستخدام معادلة تفاضلية تسمح بالعشوائية.
- يتم بعد ذلك نمذجة هذه المعدلات إلى هيكل زمني موجود لأسعار الفائدة لتحديد الأسعار المناسبة للأوراق المالية الحساسة لأسعار الفائدة مثل السندات أو المقايضات.
- اليوم، يُستخدم بشكل رئيسي من قبل المراجحين الذين يبحثون عن فرص المراجحة، وكذلك المحللين الذين يقومون بتسعير المشتقات.
صيغة نموذج HJM
بشكل عام، يتبع نموذج HJM والنماذج التي تُبنى على إطاره الصيغة التالية:
( df(t, T) = \alpha(t, T) dt + \sigma(t, T) dW(t) )
حيث:
( df(t, T) = ) معدل الفائدة الآني للعقد الآجل للسندات بدون كوبون ذات الاستحقاق ( T )، يُفترض أنه يحقق المعادلة التفاضلية العشوائية الموضحة أعلاه.
( \alpha, \sigma = ) متكيف
( W = ) حركة براونية (مسار عشوائي) تحت فرضية الحياد للمخاطر
[ \begin{aligned} &\text{d}f(t,T) = \alpha (t,T)\text{d}t + \sigma (t,T)\text{d}W(t)\ &\textbf{حيث:}\ &\text{d}f(t,T) = \text{معدل الفائدة الآني للعقد الآجل للسندات بدون كوبون ذات الاستحقاق } T, \text{ يُفترض أنه يحقق}\ &\text{المعادلة التفاضلية العشوائية الموضحة أعلاه.}\ &\alpha, \sigma = \text{متكيف}\ &W = \text{حركة براونية (مسار عشوائي) تحت فرضية الحياد للمخاطر}\ \end{aligned} ]
ماذا يخبرك نموذج HJM؟
نموذج هيث-جارو-مورتون نظري للغاية ويستخدم في المستويات الأكثر تقدمًا من التحليل المالي. يُستخدم بشكل رئيسي من قبل المراجحين الذين يبحثون عن فرص المراجحة، وكذلك المحللين الذين يقومون بتسعير المشتقات المالية. يتنبأ نموذج HJM بمعدلات الفائدة المستقبلية، حيث تكون نقطة البداية هي مجموع ما يُعرف بشروط الانجراف وشروط الانتشار. يتم تحفيز انجراف المعدل المستقبلي بواسطة التقلب، والذي يُعرف بشرط الانجراف في نموذج HJM. بمعنى أساسي، يُعتبر نموذج HJM أي نموذج لمعدل الفائدة يتم تحفيزه بواسطة عدد محدود من الحركات البراونية.
يعتمد نموذج HJM على عمل الاقتصاديين ديفيد هيث وروبرت جاراو وأندرو مورتون في الثمانينيات. كتب الثلاثي سلسلة من الأوراق البحثية البارزة في أواخر الثمانينيات وأوائل التسعينيات التي وضعت الأساس لهذا الإطار، من بينها "تسعير السندات وهيكل معدلات الفائدة: تقريب زمني متقطع"، "تقييم المطالبات المحتملة مع تطور عشوائي لمعدلات الفائدة"، و"تسعير السندات وهيكل معدلات الفائدة: منهجية جديدة لتقييم المطالبات المحتملة".
هناك نماذج إضافية مختلفة مبنية على إطار عمل HJM. جميعها تسعى بشكل عام إلى التنبؤ بمنحنى معدلات الفائدة المستقبلية بالكامل، وليس فقط المعدل القصير أو نقطة أخرى على المنحنى. المشكلة الأكبر مع نماذج HJM هي أنها تميل إلى أن تكون ذات أبعاد لا نهائية، مما يجعل من شبه المستحيل حسابها. هناك نماذج مختلفة تسعى إلى التعبير عن نموذج HJM كحالة محدودة.
نموذج HJM وتسعير الخيارات
يُستخدم نموذج HJM أيضًا في تسعير الخيارات، والذي يشير إلى إيجاد القيمة العادلة لعقد المشتقات. قد تستخدم المؤسسات التجارية النماذج لتسعير الخيارات كاستراتيجية للعثور على الخيارات المقيمة بأقل أو أكثر من قيمتها الحقيقية.
نماذج تسعير الخيارات هي نماذج رياضية تستخدم مدخلات معروفة وقيم متوقعة، مثل التقلب الضمني، للعثور على القيمة النظرية للخيارات. سيستخدم المتداولون نماذج معينة لتحديد السعر في نقطة زمنية معينة، وتحديث حساب القيمة بناءً على تغير المخاطر.
بالنسبة لنموذج HJM، لحساب قيمة مقايضة سعر الفائدة، فإن الخطوة الأولى هي تشكيل منحنى الخصم بناءً على أسعار الخيارات الحالية. من هذا المنحنى الخصمي، يمكن الحصول على معدلات الفائدة المستقبلية. من هناك، يجب إدخال تقلبات معدلات الفائدة المستقبلية، وإذا كانت التقلبات معروفة، يمكن تحديد الانحراف.