ما هي التبديلة؟
يشير مصطلح التبديل إلى حساب رياضي لعدد الطرق التي يمكن بها ترتيب مجموعة معينة. ببساطة، التبديل هو كلمة تصف عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الأشياء. في التبديلات، يهم ترتيب الترتيب. هناك ثلاثة أنواع مختلفة من التبديلات، بما في ذلك واحدة بدون تكرار وواحدة مع تكرار. تختلف التبديلات عن التوافيق، حيث يتم اختيار البيانات من مجموعة ولا يهم الترتيب.
النقاط الرئيسية
- التبديل هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب مجموعة أو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب الأشياء.
- مع التبديل، يكون لترتيب الأرقام أهمية.
- الأنواع الرئيسية للتباديل هي تلك التي تحتوي على تكرار وتلك التي بدون تكرار، على الرغم من وجود أنواع أخرى أقل شيوعًا مثل التباديل مع المجموعات المتعددة والتباديل الدائرية.
- من الممكن الحصول على ترتيبات متعددة من مجموعة واحدة.
- التباديل تختلف عن التوافيق، حيث أن التوافيق هي اختيار بيانات من مجموعة حيث لا يهم الترتيب.
فهم التباديل
التباديل هي مفاهيم تُستخدم في الرياضيات. تمثل مجموعة متنوعة من الترتيبات التي يمكن أن تكون ممكنة في مجموعة. يعتبر الترتيب مهمًا جدًا عندما يتعلق الأمر بالتباديل. وهذا ما يميزها عن التوافيق، وهو مفهوم لا يهم فيه الترتيب. إلى حد ما، يمكن اعتبار التباديل شكلاً من أشكال التوافيق المرتبة. نناقش التوافيق بمزيد من التفصيل أدناه.
هناك طريقة يمكنك من خلالها حساب التباديل باستخدام صيغة. هذه الصيغة هي:
P(n,r) = n! مقسومًا على (n-r)!
في هذه المعادلة، P(n,r) تمثل عدد التباديل الممكنة لعناصر n مأخوذة r في كل مرة. العلامة ! تشير إلى العامل الرياضي، حيث n! تعني n مضروبًا في كل الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل منها.
أين
- n = العدد الإجمالي للعناصر في المجموعة؛
- r = العناصر المأخوذة للتبديل؛
- "!" يشير إلى أخذ العامل (Factorial)
التعبير العام لهذه الصيغة هو: "كم عدد الطرق التي يمكنك بها ترتيب 'r' من مجموعة 'n' إذا كان الترتيب مهمًا؟"
يمكن حساب التبديل يدويًا أيضًا، حيث يتم كتابة جميع التبديلات الممكنة. في التوليفة، التي تُخلط أحيانًا مع التبديل، يمكن أن يكون هناك أي ترتيب للعناصر.
طريقة بسيطة لتصور التبديل هي عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب تسلسل لوحة مفاتيح مكونة من ثلاثة أرقام. باستخدام الأرقام من صفر (0) إلى تسعة (9)، واستخدام كل رقم مرة واحدة فقط على لوحة المفاتيح، فإن عدد التباديل هو:
P(10,3) = 10! ÷ (10-3)! = 10! ÷ 7! = 10 × 9 × 8 = 720
في هذه المعادلة، نبدأ بحساب التوافيق P(10,3) والتي تعني عدد الطرق لاختيار 3 عناصر من مجموعة مكونة من 10 عناصر. نستخدم صيغة التوافيق حيث نقسم مضروب العدد 10 (10!) على مضروب الفرق بين 10 و3 (7!). بعد تبسيط المعادلة، نحصل على 10 مضروب في 9 مضروب في 8، مما يعطينا الناتج 720.
الترتيب مهم هنا لأن التبديل ينتج عنه عدد مداخل الأرقام بدلاً من التوليفة.
التباديل مقابل التوافيق
كلا التباديل والتوافيق يتعلقان بمجموعة من العناصر. بالنسبة للتباديل، فإن ترتيب البيانات مهم. فكر في ترتيب الأرقام لفتح خزنة. يجب أن يكون الترتيب صحيحًا لفتحها. لذلك، يجب إدخالها بالضبط كما هو مكتوب وإلا فلن تعمل.
مثال محير، لأن مجموعات الأمان ليست في الواقع مجموعات. المجموعات لا تعتمد على الترتيب أو التسلسل، مما يعني أن البيانات في مجموعة يمكن ترتيبها بأي طريقة، حتى بشكل عشوائي. بعد قول هذا، لا يوجد نية عندما يتعلق الأمر بتحديد المجموعات. فهي عشوائية تمامًا. فكر في اختيار عناصر من قائمة الغداء في مطعمك المحلي لوجبتك.
الفرق الرئيسي الآخر بين التباديل والتوافيق هو نوع البيانات. تعتمد التباديل على قائمة من الأشياء، ولهذا السبب يكون الترتيب مهمًا. يمكن أن تكون هذه الأشياء أرقامًا أو حروفًا أو أشخاصًا. من ناحية أخرى، تعتمد التوافيق على مجموعة من الأشياء مثل قائمة الطعام في مطعمك المفضل. ولهذا السبب لا يكون الترتيب مهمًا على الإطلاق. لذا، يمكن أن يعني هذا اختيار أشخاص من فريق رياضي أو اختيار عناصر من قائمة مطعم.
الاختلافات بين التباديل والتوافيق
التباديل
التوليفات
يتم اختيار البيانات من قائمة.
يتم اختيار البيانات من مجموعة
There is an arrangement of data
يوجد مجموعة من البيانات.
الترتيب مهم
الترتيب لا يهم.
يمكن الحصول على العديد من التباديل من تركيبة واحدة.
إمكانية واحدة يمكن أن تنتج من ترتيب واحد.
أنواع التباديل
هناك أنواع مختلفة من التباديل. النوعان الرئيسيان من التباديل هما:
- التباديل مع التكرار. مع التكرار، يمكنك إنشاء تركيبات مختلفة باستخدام كائنات مختلفة. لا يتم تقييد البيانات بعدد المرات التي يمكن أن تظهر فيها، لذا يمكنك استخدام البيانات أكثر من مرة.
- التباديل بدون تكرار. في هذه الحالة، يتم إزالة عنصر واحد من القائمة في كل مرة تحتاج فيها إلى إنشاء تبادل جديد. ببساطة، الخيارات المتاحة للتباديل تتناقص مع تقدمك.
هناك بعض الأنواع الأخرى الأقل شيوعًا من التباديل، بما في ذلك التباديل باستخدام المجموعات المتعددة (والتي تتضمن عناصر في قائمة غير متميزة) والتباديل الدورية أو الدائرية أو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب عدد من العناصر حول دائرة.
أمثلة على التباديل
إليك بعض الأمثلة لتوضيح كيفية عمل التباديل. هذان المثالان الأوليان من عالم المال والأعمال. لنفترض أن مدير المحفظة قام بتصفية 100 شركة لصندوق جديد سيتكون من 25 سهمًا. لن تكون هذه الحيازات الـ 25 متساوية الوزن، مما يعني أن الترتيب سيحدث. عدد الطرق لترتيب الصندوق سيكون:
P(100,25) = 100 مضروب ÷ (100-25) مضروب = 100 مضروب ÷ 75 مضروب = 3.76E + 48
هذا يترك الكثير من العمل لمدير المحفظة لبناء صندوقهم.
مثال أسهل سيكون إذا أرادت شركة بناء شبكة مستودعاتها في جميع أنحاء البلاد. ستلتزم الشركة بثلاثة مواقع من بين خمسة مواقع محتملة. الترتيب مهم لأن البناء سيتم بشكل متسلسل. عدد التباديل هو:
P(5,3) = 5! ÷ (5-3)! = 5! ÷ 2! = 60
في هذه المعادلة، نستخدم مفهوم التوافيق لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار 3 عناصر من مجموعة مكونة من 5 عناصر. نبدأ بحساب العامل المضاعف للعدد 5 (5!)، ثم نقسمه على العامل المضاعف للفرق بين 5 و3 (2!). النتيجة النهائية هي 60.
هناك العديد من الأمثلة على التباديل في العالم الحقيقي.
- كما ذُكر أعلاه، فإن تركيبات الخزائن هي في الواقع تبديلات. ذلك لأن ترتيب الأرقام مهم. لا يمكنك فتح خزنة أو خزانة إذا لم يكن لديك الترتيب الصحيح.
- مثال شائع آخر هو الجناس الناقص حيث تقوم بتكوين كلمات مختلفة من نفس الكلمة الأصلية. مرة أخرى، الترتيب مهم لأنك يجب أن تكون قادرًا على تشكيل كلمة فعلية، وليس مجرد تسلسل عشوائي من الحروف.
- اختيار ترتيب الأشخاص الذين ينهون السباق. يمكنك استخدام المضاعفات لتحديد من يأتي في المركز الأول والثاني والثالث، ناهيك عن ترتيب المشاركين الآخرين.
ماذا يعني التبديل؟
التبديل هو مفهوم في الرياضيات يوضح عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب مجموعة معينة من البيانات. ببساطة، هو عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب البيانات. عادةً ما تُؤخذ هذه البيانات من قائمة. مع التبديلات، يكون ترتيب مجموعة البيانات مهمًا، كما هو الحال مع تركيبة خزنة أو قفل.
ما هي الأنواع الأربعة للتباديل؟
أنواع التباديل الأربعة هي التباديل مع التكرار، التباديل بدون تكرار، التباديل مع المجموعات المتعددة، والتباديل الدائرية.
ما الفرق بين التبديل والتوافيق؟
هناك عدة اختلافات رئيسية بين التباديل والتوافيق. بينما التبديل هو ترتيب للبيانات يعتمد على الترتيب، فإن التوافيق هي اختيار للبيانات حيث لا يهم الترتيب. عادةً ما يتم اختيار البيانات للتباديل من قائمة، بينما تأتي البيانات للتوافيق من مجموعة من العناصر—فكر في قائمة المتسابقين للتباديل ومجموعة من أعضاء الفريق للتوافيق.
الخلاصة
يمكن أن تكون مفاهيم الرياضيات سهلة الفهم إلى حد ما. التبديل هو مفهوم يمثل ترتيب مجموعة متنوعة من مجموعات البيانات من قائمة بيانات أكبر. والترتيب مهم جدًا. غالبًا ما يتم الخلط بين التبديلات والتوافيق، وهي اختيارات للبيانات من مجموعة من الأشياء. يمكن أن تكون التبديلات مفيدة للمهنيين الماليين والمستثمرين على حد سواء عند محاولة اختيار استثمارات لمحفظة.