ما هو المتغير العشوائي؟
المتغير العشوائي هو متغير تكون قيمته غير معروفة أو دالة تعين قيمًا لكل من نتائج تجربة معينة. غالبًا ما يتم تعيين المتغيرات العشوائية بواسطة حروف ويمكن تصنيفها كمتغيرات منفصلة، وهي المتغيرات التي لها قيم محددة، أو متغيرات مستمرة، وهي المتغيرات التي يمكن أن تأخذ أي قيم ضمن نطاق مستمر.
غالبًا ما تُستخدم المتغيرات العشوائية في تحليل الاقتصاد القياسي أو الانحدار لتحديد العلاقات الإحصائية فيما بينها.
النقاط الرئيسية
- المتغير العشوائي هو متغير تكون قيمته غير معروفة أو دالة تقوم بتعيين قيم لكل من نتائج التجربة.
- يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية إما متقطعة (لها قيم محددة) أو مستمرة (أي قيمة في نطاق مستمر).
- يُستخدم المتغير العشوائي بشكل شائع في الاحتمالات والإحصاء، حيث يُستخدم لقياس نتائج الأحداث العشوائية.
- يستخدم محللو المخاطر المتغيرات العشوائية لتقدير احتمال حدوث حدث سلبي.
فهم المتغير العشوائي
في الاحتمالات والإحصاءات، تُستخدم المتغيرات العشوائية لقياس نتائج حدث عشوائي، وبالتالي يمكن أن تأخذ العديد من القيم. يجب أن تكون المتغيرات العشوائية قابلة للقياس وعادة ما تكون أرقامًا حقيقية. على سبيل المثال، قد يتم تعيين الحرف X ليمثل مجموع الأرقام الناتجة بعد رمي ثلاث نردات. في هذه الحالة، يمكن أن يكون X هو 3 (1 + 1 + 1)، أو 18 (6 + 6 + 6)، أو أي قيمة بين 3 و18، نظرًا لأن أعلى رقم في النرد هو 6 وأدنى رقم هو 1.
المتغير العشوائي يختلف عن المتغير الجبرية. المتغير في المعادلة الجبرية هو قيمة غير معروفة يمكن حسابها. المعادلة 10 + x = 13 توضح أنه يمكننا حساب القيمة المحددة لـ x والتي تساوي 3. من ناحية أخرى، المتغير العشوائي لديه مجموعة من القيم، وأي من هذه القيم يمكن أن تكون النتيجة النهائية كما هو موضح في مثال النرد أعلاه.
في عالم الشركات، يمكن تخصيص المتغيرات العشوائية لخصائص مثل متوسط سعر الأصل خلال فترة زمنية معينة، أو العائد على الاستثمار بعد عدد محدد من السنوات، أو معدّل دوران رأس المال (Turnover) المتوقع في شركة خلال الأشهر الستة المقبلة، وما إلى ذلك. يقوم محللو المخاطر بتخصيص المتغيرات العشوائية لنماذج المخاطر عندما يرغبون في تقدير احتمال حدوث حدث سلبي. يتم تقديم هذه المتغيرات باستخدام أدوات مثل جداول تحليل السيناريو وتحليل الحساسية التي يستخدمها مدراء المخاطر لاتخاذ قرارات تتعلق بتخفيف المخاطر.
أنواع المتغيرات العشوائية
المتغير العشوائي لديه توزيع احتمالي يمثل احتمال حدوث أي من القيم الممكنة. لنفترض أن المتغير العشوائي، Z، هو الرقم الموجود على الوجه العلوي للنرد عند رميه مرة واحدة. القيم الممكنة لـ Z ستكون بالتالي 1، 2، 3، 4، 5، و6. احتمال كل من هذه القيم هو 1/6 لأنها جميعها متساوية في احتمال أن تكون قيمة Z.
على سبيل المثال، احتمال الحصول على الرقم 3، أو P (Z=3)، عند رمي النرد هو 1/6، وكذلك احتمال الحصول على الرقم 4 أو 2 أو أي رقم آخر على جميع الأوجه الستة للنرد. لاحظ أن مجموع جميع الاحتمالات هو 1.
يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية إما متقطعة أو مستمرة.
المتغيرات العشوائية المنفصلة
المتغيرات العشوائية المنفصلة تأخذ عددًا محدودًا من القيم المميزة. لنفترض تجربة يتم فيها رمي عملة ثلاث مرات. إذا كان X يمثل عدد المرات التي تظهر فيها العملة على الوجه، فإن X هو متغير عشوائي منفصل يمكن أن يأخذ فقط القيم 0، 1، 2، أو 3 (من عدم ظهور الوجه في ثلاث رميات متتالية للعملة إلى ظهور الوجه في جميع الرميات). لا يمكن أن يكون هناك أي قيمة أخرى لـ X.
المتغيرات العشوائية المستمرة
يمكن للمتغيرات العشوائية المستمرة أن تمثل أي قيمة ضمن نطاق أو فترة محددة ويمكن أن تأخذ عددًا لا نهائيًا من القيم المحتملة. مثال على المتغير العشوائي المستمر هو تجربة تتضمن قياس كمية الأمطار في مدينة خلال سنة أو متوسط طول مجموعة عشوائية من 25 شخصًا.
بالاستناد إلى ما سبق، إذا كان Y يمثل المتغير العشوائي لمتوسط الطول لمجموعة عشوائية مكونة من 25 شخصًا، ستجد أن النتيجة الناتجة هي قيمة مستمرة لأن الطول قد يكون 5 أقدام أو 5.01 قدم أو 5.0001 قدم. من الواضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من القيم الممكنة للطول.
مثال على المتغير العشوائي
مثال نموذجي للمتغير العشوائي هو نتيجة رمي عملة. فكر في توزيع احتمالي حيث لا تكون نتائج حدث عشوائي متساوية في احتمالية الحدوث. إذا كان المتغير العشوائي Y هو عدد مرات ظهور الوجه عند رمي عملتين، فإن Y يمكن أن يكون 0، 1، أو 2. هذا يعني أنه يمكن أن نحصل على عدم ظهور أي وجه، أو ظهور وجه واحد، أو ظهور الوجهين عند رمي عملتين.
ومع ذلك، فإن العملتين يمكن أن تسقطا بأربع طرق مختلفة: TT، HT، TH، وHH. لذلك، فإن احتمال P(Y=0) = 1/4 لأن لدينا فرصة واحدة لعدم الحصول على أي وجه (أي، وجهين ذيلين TT عند رمي العملتين). وبالمثل، فإن احتمال الحصول على وجهين (HH) هو أيضًا 1/4. لاحظ أن الحصول على وجه واحد لديه احتمال حدوث مرتين: في HT وTH. في هذه الحالة، P(Y=1) = 2/4 = 1/2.
ما هي النوعان من المتغيرات العشوائية؟
يمكن تصنيف المتغيرات العشوائية إلى متغيرات منفصلة أو متصلة. المتغير العشوائي المنفصل هو نوع من المتغيرات العشوائية التي تحتوي على عدد قابل للعد من القيم المميزة، مثل الوجه أو الظهر في العملة، أوراق اللعب، أو جوانب النرد. أما المتغير العشوائي المتصل فيمكن أن يعكس عددًا لا نهائيًا من القيم المحتملة، مثل متوسط هطول الأمطار في منطقة معينة.
ما هو المتغير العشوائي المختلط؟
المتغير العشوائي المختلط يجمع بين عناصر المتغيرات العشوائية المنفصلة والمتصلة.
كيف يمكنك تحديد المتغير العشوائي؟
المتغير العشوائي هو متغير تكون قيمته غير معروفة مسبقًا، أو يتم تعيين قيمة عشوائية له بناءً على عملية توليد بيانات معينة أو دالة رياضية.
لماذا تعتبر المتغيرات العشوائية مهمة؟
المتغيرات العشوائية تنتج توزيعات احتمالية بناءً على التجربة أو الملاحظة أو أي عملية أخرى لتوليد البيانات. بهذه الطريقة، تتيح لنا المتغيرات العشوائية فهم العالم من حولنا بناءً على عينة من البيانات، من خلال معرفة احتمال حدوث قيمة معينة في العالم الحقيقي أو في وقت ما في المستقبل.
الخلاصة
المتغيرات العشوائية، سواء كانت متقطعة أو مستمرة، هي مفهوم أساسي في الإحصاء والتجارب. نظرًا لأنها عشوائية بقيم غير معروفة بدقة، فإنها تتيح لنا فهم توزيع الاحتمالات لتلك القيم أو الاحتمال النسبي لحدوث أحداث معينة. ونتيجة لذلك، يمكن للمحللين اختبار الفرضيات واستخلاص الاستنتاجات حول العالم الطبيعي والاجتماعي من حولنا.