توزيع الاحتمالات المنفصلة: نظرة عامة وأمثلة

ما هو التوزيع المتقطع؟

التوزيع المتقطع هو توزيع احتمالي يصف حدوث نتائج متقطعة (يمكن عدها بشكل فردي)، مثل 1، 2، 3، نعم، لا، صحيح، أو خطأ. على سبيل المثال، التوزيع ذو الحدين هو توزيع متقطع يقيم احتمال حدوث نتيجة "نعم" أو "لا" عبر عدد معين من التجارب، مع الأخذ في الاعتبار احتمال الحدث في كل تجربة—مثل قلب عملة مئة مرة والحصول على النتيجة "وجه".

يمكن أن تكون التوزيعات الإحصائية إما متقطعة أو مستمرة. يتم بناء التوزيع المستمر من نتائج تقع على متصل، مثل جميع الأرقام الأكبر من 0 (بما في ذلك الأرقام التي تستمر أرقامها العشرية إلى ما لا نهاية، مثل π = 3.14159265...). بشكل عام، تُعتبر مفاهيم التوزيعات الاحتمالية المتقطعة والمستمرة والمتغيرات العشوائية التي تصفها الأساس لنظرية الاحتمالات والتحليل الإحصائي.

النقاط الرئيسية

• يصف التوزيع الاحتمالي المنفصل الأحداث التي لها نتائج قابلة للعد أو محدودة.
• تتباين التوزيعات المتقطعة مع التوزيعات المستمرة، حيث يمكن أن تقع النتائج في أي مكان على متصل.
• تشمل الأمثلة الشائعة للتوزيع المتقطع التوزيع الثنائي (binomial)، وتوزيع بواسون (Poisson)، وتوزيع برنولي (Bernoulli).
• غالبًا ما تتضمن هذه التوزيعات تحليلات إحصائية لـ "عدد" أو "عدد المرات" التي يحدث فيها حدث معين.
• في مجال التمويل، تُستخدم التوزيعات المتقطعة في تسعير الخيارات والتنبؤ بالصدمات السوقية أو حالات الركود.

فهم التوزيع المنفصل

التوزيع هو مفهوم إحصائي يُستخدم في أبحاث البيانات. يسعى الباحثون الذين يرغبون في تحديد النتائج والاحتمالات لدراسة معينة إلى رسم نقاط بيانات قابلة للقياس من مجموعة بيانات، مما ينتج عنه رسم بياني لتوزيع الاحتمالات. يمكن أن تنتج العديد من أشكال الرسوم البيانية لتوزيع الاحتمالات من دراسة التوزيع، مثل التوزيع الطبيعي ("منحنى الجرس").

يمكن للإحصائيين تحديد تطور توزيع إما متقطع أو مستمر بناءً على طبيعة النتائج التي سيتم قياسها. على عكس التوزيع الطبيعي، الذي يكون مستمرًا ويشمل أي نتيجة ممكنة على طول خط الأعداد، يتم بناء التوزيع المتقطع من بيانات يمكن أن تتبع فقط مجموعة محدودة أو متقطعة من النتائج.

تمثل التوزيعات المتقطعة البيانات التي تحتوي على عدد محدود من النتائج، مما يعني أن النتائج المحتملة يمكن وضعها في قائمة ثم تمثيلها بيانيًا. قد تكون القائمة محدودة أو غير محدودة. على سبيل المثال، عند تحديد توزيع الاحتمالات لنرد ذو ستة أوجه مرقمة، تكون القائمة هي 1، 2، 3، 4، 5، 6. إذا كنت ترمي نردين، فإن احتمالات الحصول على نتيجتين من الستات (12) أو نتيجتين من الواحدات (2) أقل بكثير من الاحتمالات الأخرى؛ على الرسم البياني، سترى احتمالات هاتين النتيجتين ممثلة بأصغر الأعمدة في المخطط.

أنواع التوزيعات الاحتمالية المنفصلة

تشمل التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الأكثر شيوعًا التوزيع الثنائي، وتوزيع برنولي، والتوزيع المتعدد الحدود، وتوزيع بواسون.

ثنائي الحدين

توزيع الاحتمالات ذو الحدين هو توزيع يكون فيه احتمال لنتيجتين فقط. في هذا التوزيع، يتم جمع البيانات في شكلين بعد تجارب متكررة وتصنيفها إما كنجاح أو فشل. عادةً ما يكون له مجموعة محدودة من نتيجتين ممكنتين فقط، مثل الصفر أو الواحد. على سبيل المثال، عند قلب عملة معدنية تحصل على القائمة {وجه، ظهر}.

يُستخدم التوزيع ذو الحدين في نماذج تسعير الخيارات التي تعتمد على الأشجار الثنائية. في نموذج الشجرة الثنائية، يمكن أن تكون قيمة الأصل الأساسي واحدة من قيمتين محتملتين بالضبط - مع النموذج، هناك نتيجتان محتملتان فقط مع كل تكرار - حركة للأعلى أو حركة للأسفل بقيم محددة.

برنولي

توزيعات برنولي تشبه التوزيعات الثنائية لأن هناك نتيجتين محتملتين. يتم إجراء تجربة واحدة، لذا فإن النتائج في توزيع برنولي تُصنّف إما كصفر أو واحد. يشير الواحد إلى النجاح، بينما يعني الصفر الفشل—تسمى التجربة الواحدة تجربة برنولي.

لذلك، إذا استخدمت رخامًا أخضر (للنجاح) ورخامًا أحمر (للفشل) في وعاء مغطى واخترت دون النظر، فسوف تسجل كل نتيجة كصفر أو واحد بدلاً من النجاح أو الفشل لعينة الاختبار الخاصة بك. تُستخدم توزيعات برنولي لعرض احتمال نجاح أو فشل استثمار ما.

متعدد الحدود

تحدث التوزيعات متعددة الحدود عندما يكون هناك احتمال لأكثر من نتيجتين مع وجود عدة عدادات. على سبيل المثال، لنفترض أن لديك وعاء مغطى يحتوي على كرة واحدة خضراء، وأخرى حمراء، وأخرى صفراء. في اختبارك، تقوم بتسجيل عدد المرات التي تختار فيها بشكل عشوائي كل واحدة من الكرات لعينة الاختبار الخاصة بك.

في مجال التمويل والاستثمار، تقوم هذه التوزيعات بتقدير احتمال حدوث مجموعة معينة من الأحداث المالية.

توزيع بواسون

تعبّر توزيع بواسون عن احتمال حدوث عدد معين من الأحداث خلال فترة زمنية محددة.

توزيع بواسون هو توزيع منفصل يحصي تكرار الأحداث كأعداد صحيحة، والتي يمكن أن تكون قائمتها {0، 1، 2، ...} لا نهائية. على سبيل المثال، لنفترض أن لديك وعاء مغطى يحتوي على كرة حمراء وأخرى خضراء، وفترة الاختبار المختارة هي دقيقتان. اختبارك هو تسجيل ما إذا كنت ستختار الكرة الخضراء أو الحمراء، مع اعتبار الكرة الخضراء مؤشرًا على النجاح. بعد كل اختبار، تعيد الكرة إلى الوعاء وتسجل النتائج.

في هذا النموذج، سيكون توزيع النتائج مرسومًا على مدى فترة زمنية، مما يشير إلى عدد المرات التي يتم فيها اختيار اللون الأخضر.

يُستخدم توزيع بواسون بشكل شائع لنمذجة البيانات المالية حيث يكون العدد صغيرًا وغالبًا ما يكون صفرًا. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لنمذجة عدد الصفقات التي يقوم بها مستثمر نموذجي في يوم معين، والتي يمكن أن تكون 0 (غالبًا)، 1، 2، وهكذا.

محاكاة مونت كارلو

يمكن أيضًا رؤية التوزيعات المتقطعة في محاكاة مونت كارلو. تُعد محاكاة مونت كارلو تقنية نمذجة تحدد احتمالات النتائج المختلفة من خلال التكنولوجيا المبرمجة. تُستخدم بشكل أساسي للمساعدة في توقع السيناريوهات وتحديد المخاطر.

حساب التوزيع الاحتمالي المنفصل

كيفية حساب توزيع الاحتمالات المنفصل يعتمد على اختبارك، وما تحاول قياسه، وكيفية قياسه. على سبيل المثال، إذا كنت تقلب عملة مرتين، فإن التوليفات الممكنة هي:

• ذيول/ذيول (TT)
• وجه العملة/ظهر العملة (Heads/Tails)
• ذيول/رؤوس (TH)
• رؤوس/رؤوس (HH)

لأنك تقوم بقلب العملة مرتين وهناك نتيجتان محتملتان، فهناك أربع احتمالات. كل من النتائج تمثل ربع الاحتمالات. تركيبات HT وTH كل منها تمثل ربع (وهي في الأساس نفس الشيء)، مما يمثل نصف النتائج. لذلك، الاحتمال هو أنه في ربع الوقت ستحصل على TT أو HH، وفي نصف الوقت ستحصل على HT أو TH.

يعمل هذا بشكل مشابه عند رمي زهرين لأن نتائج رمي الزهر تكون منفصلة. هناك 36 احتمالًا لأن كل زهر يحتوي على ستة أوجه، ولكن لا يمكن أن تكون النتيجة واحدًا لأن أقل رقم على كل زهر هو واحد. لذا فإن أقل نتيجة يمكنك الحصول عليها هي اثنان، وأعلى نتيجة هي 12. العديد من التوليفات ستتكرر، تمامًا كما في مثال العملة المعدنية—لذلك كلما زادت الاحتمالات التي تتكرر، زادت الحالات التي سيتم تمثيلها في الرسم البياني.

كما هو موضح في الجدول أدناه، إذا قمت بجمع الأرقام الناتجة عن رمي النرد، ستجد حالة واحدة يكون فيها الناتج اثنين وحالة واحدة يكون فيها الناتج 12، مما يخلق احتمالات واحد من 36 للأرقام اثنين و12.

نتائج رمي زوج من النرد

 

1

2

3 

4 

5 

6 

1

١,١

١، ٢

١،٣

١٫٤

١٫٥

١٫٦

2 

٢٫١

٢٫٢

٢٫٣

٢٫٤

٢٫٥

٢٫٦

3 

٣٫١

٣٫٢

٣٫٣

٣٫٤

٣٫٥

٣٫٦

4 

٤٫١

٤٫٢

٤٫٣

٤٫٤

٤٫٥

٤٫٦

5 

٥,١

٥٫٢

٥٫٣

٥٫٤

٥٫٥

٥،٦

6 

٦,١

٦٫٢

٦٫٣

٦٫٤

٦٫٥

٦٫٦

احتمالية (P) أن يكون X (النتيجة) مساويًا لـ x (الرقم المختار) ستكون:

• احتمال أن يكون X=2 هو 1 على 36.
• احتمال أن يكون X=3 هو 2 من 36.
• احتمال أن يكون X=4 هو 3 من 36.
• احتمال أن يكون X=5 هو 4 من 36.
• احتمال أن يكون X=6 هو 5 على 36.
• احتمال أن يكون X=7 هو 6 من أصل 36.
• احتمال أن يكون X=8 هو 5 على 36.
• احتمال أن يكون X=9 هو 4 من 36.
• احتمال أن يكون X=10 هو 3 من 36.
• احتمال أن يكون X=11 هو 2 من 36.
• احتمال أن يكون X=12 هو 1 على 36.

احتمال أن تكون النتيجة اثنين هو واحد من 36؛ واحتمال أن تكون النتيجة ثلاثة هو اثنان من 36، وهكذا.

مثال على الاستثمار

في نموذج الشجرة الثنائية أدناه، اختار المحلل فترات زمنية مدتها ثلاثة أشهر مع سعر ابتدائي قدره 10 دولارات. لقد استخدموا بيانات سابقة من الاستثمار لحساب احتمال أن يرتفع السعر أو ينخفض بنفس الطريقة التي تم بها حساب رميات النرد.

في هذه الصورة، قام المحلل بحساب أن احتمال ارتفاع السعر إلى 12 دولارًا هو 1.03. احتمال انخفاض السعر إلى 8 دولارات هو 3.43. من كل زيادة أو نقصان في السعر، يمكنك أن ترى أن المحلل قد حسب الاحتمالات المنفصلة لتسعة أشهر. في نهاية تسعة أشهر، ترى أن احتمال ارتفاع سعر السهم إلى 17.28 دولارًا هو صفر، بينما احتمال انخفاضه إلى 7.68 دولارًا هو 4.32؛ واحتمال وصوله إلى 5.12 دولارًا هو 6.98. لذا، من المرجح أن ينخفض سعر السهم خلال الأشهر التسعة المقبلة أكثر من أن يرتفع.

نموذج الشجرة الثنائية لتسعير الخيارات.

التوزيع المتقطع مقابل التوزيع المستمر

إذا كانت التوزيعات المتقطعة هي تلك التي ترسم المتغيرات المتقطعة، فإن التوزيعات المستمرة هي تلك التي ترسم المتغيرات المستمرة. يمكن رؤية الفرق في الرسوم البيانية، حيث يتم تمثيل التوزيعات الاحتمالية المتقطعة عادةً بأشرطة لأن البيانات متقطعة.

تظهر التوزيعات الاحتمالية المستمرة عادةً كمنحنى أو خط على الرسم البياني لأن البيانات تحت الخط مستمرة وليست محدودة.

ما هي أنواع التوزيع المنفصل؟

تشمل التوزيعات المنفصلة الأكثر شيوعًا التي يستخدمها الإحصائيون أو المحللون توزيع ذو الحدين، وتوزيع بواسون، وتوزيع برنولي، والتوزيع المتعدد الحدود. وتشمل التوزيعات الأخرى التوزيع ذو الحدين السالب، والتوزيع الهندسي، والتوزيع فوق الهندسي.

ما هما الشرطان لتوزيع احتمالي متقطع؟

يجب أن تكون احتمالات المتغيرات العشوائية ذات قيم منفصلة (على عكس القيم المستمرة) كنتائج. بالنسبة للتوزيع التراكمي، يجب أن تكون احتمالية كل ملاحظة منفصلة بين 0 و1؛ ويجب أن يكون مجموع الاحتمالات مساويًا لواحد (100%).

كيف تعرف إذا كانت التوزيعة متقطعة؟

تكون البيانات متقطعة إذا كان هناك مجموعة محددة من النتائج الممكنة (مثل: صفر، واحد، أو الأعداد الصحيحة فقط).

ما هو التوزيع المستمر؟

على عكس التوزيع المتقطع، يمكن أن يحتوي التوزيع الاحتمالي المستمر على نتائج ذات أي قيمة، بما في ذلك الكسور غير المحددة. على سبيل المثال، يتم تصوير التوزيع الطبيعي بمنحنى على شكل جرس مع خط غير متقطع يغطي جميع القيم عبر دالة احتماله.

ما هو نموذج الاحتمال المتقطع؟

نموذج الاحتمالات المتقطعة هو أداة إحصائية تأخذ البيانات التي تتبع توزيعًا متقطعًا وتحاول التنبؤ أو نمذجة نتيجة معينة، مثل سعر عقد الخيارات أو مدى احتمال حدوث صدمة في السوق خلال السنوات الخمس المقبلة.

الخلاصة

التوزيعات الاحتمالية المنفصلة هي رسوم بيانية لنتائج الاختبارات التي تكون محدودة، مثل القيم 1، 2، 3، صحيح، خطأ، نجاح، أو فشل. يستخدم المستثمرون التوزيعات الاحتمالية المنفصلة لتقدير احتمالات حدوث نتيجة استثمارية معينة بشكل أكبر أو أقل. وبناءً على هذه المعلومات، يمكنهم اختيار استراتيجية تحوط تتناسب مع الاحتمالات التي تم العثور عليها في تحليلهم.