الانحدار: التعريف، التحليل، الحساب، والمثال

ما هو الانحدار؟

الانحدار هو طريقة إحصائية تُستخدم في التمويل والاستثمار وغيرها من المجالات، وتهدف إلى تحديد قوة وطبيعة العلاقة بين متغير تابع وواحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة.

الانحدار الخطي هو الشكل الأكثر شيوعًا لهذه التقنية. يُطلق عليه أيضًا الانحدار البسيط أو المربعات الصغرى العادية (OLS)، حيث يحدد الانحدار الخطي العلاقة الخطية بين متغيرين.

يتم تصوير الانحدار الخطي بشكل بياني باستخدام خط الانحدار الأفضل حيث يحدد الميل كيف يؤثر التغيير في متغير واحد على التغيير في المتغير الآخر. يمثل التقاطع مع المحور y في علاقة الانحدار الخطي قيمة المتغير التابع عندما تكون قيمة المتغير المستقل صفرًا. توجد أيضًا نماذج الانحدار غير الخطي، لكنها أكثر تعقيدًا بكثير.

النقاط الرئيسية

• الانحدار هو تقنية إحصائية تربط بين متغير تابع وواحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة.
• يمكن لنموذج الانحدار أن يوضح ما إذا كانت التغيرات الملحوظة في المتغير التابع مرتبطة بتغيرات في واحد أو أكثر من المتغيرات المستقلة.
• يقوم بذلك من خلال تحديد خط الانحدار الأفضل ورؤية كيفية تشتت البيانات حول هذا الخط.
• تساعد الانحدارات الاقتصاديين والمحللين الماليين في أمور تتراوح من تقييم الأصول إلى إجراء التنبؤات.
• لكي يتم تفسير نتائج الانحدار بشكل صحيح، يجب أن تتحقق عدة افتراضات حول البيانات والنموذج نفسه.

في علم الاقتصاد، يتم استخدام الانحدار لمساعدة مديري الاستثمار في تقييم الأصول وفهم العلاقات بين العوامل مثل أسعار السلع وأسهم الشركات التي تتعامل في تلك السلع.

بينما تُعتبر أداة قوية للكشف عن العلاقات بين المتغيرات الملاحظة في البيانات، إلا أنها لا يمكنها بسهولة الإشارة إلى السببية. لا ينبغي الخلط بين الانحدار كتقنية إحصائية ومفهوم الانحدار نحو المتوسط، المعروف أيضًا باسم العودة إلى المتوسط.

فهم الانحدار

الانحدار يلتقط العلاقة بين المتغيرات التي تم ملاحظتها في مجموعة البيانات ويقوم بتحديد ما إذا كانت تلك العلاقات ذات دلالة إحصائية أم لا.

النوعان الأساسيان من الانحدار هما الانحدار الخطي البسيط والانحدار الخطي المتعدد، على الرغم من وجود طرق انحدار غير خطية للبيانات والتحليلات الأكثر تعقيدًا. يستخدم الانحدار الخطي البسيط متغيرًا مستقلًا واحدًا لشرح أو التنبؤ بنتيجة المتغير التابع Y، بينما يستخدم الانحدار الخطي المتعدد متغيرين مستقلين أو أكثر للتنبؤ بالنتيجة. يمكن للمحللين استخدام الانحدار التدريجي لفحص كل متغير مستقل موجود في نموذج الانحدار الخطي.

يمكن أن تساعد الانحدارات المهنيين في مجال المالية والاستثمار. على سبيل المثال، قد تستخدم شركة ما الانحدار للتنبؤ بالمبيعات بناءً على الطقس، أو المبيعات السابقة، أو نمو الناتج المحلي الإجمالي (GDP)، أو أنواع أخرى من الظروف. يُعتبر نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) نموذج انحدار يُستخدم بشكل متكرر في المالية لتسعير الأصول واكتشاف تكاليف رأس المال.

الانحدار والاقتصاد القياسي

الاقتصاد القياسي هو مجموعة من التقنيات الإحصائية المستخدمة لتحليل البيانات في المالية والاقتصاد. مثال على تطبيق الاقتصاد القياسي هو دراسة تأثير الدخل باستخدام البيانات القابلة للملاحظة. قد يفترض الاقتصادي، على سبيل المثال، أنه مع زيادة الدخل لشخص ما، فإن إنفاقه سيزداد أيضًا.

إذا أظهرت البيانات وجود مثل هذا الارتباط، يمكن عندئذٍ إجراء تحليل الانحدار لفهم قوة العلاقة بين الدخل والاستهلاك وما إذا كانت تلك العلاقة ذات دلالة إحصائية أم لا.

لاحظ أنه يمكنك أن تمتلك عدة متغيرات مستقلة في التحليل—على سبيل المثال، التغيرات في الناتج المحلي الإجمالي والتضخم بالإضافة إلى البطالة في تفسير أسعار سوق الأسهم. عندما يتم استخدام أكثر من متغير مستقل واحد، يُشار إلى ذلك باسم الانحدار الخطي المتعدد. هذا هو الأداة الأكثر استخدامًا في الاقتصاد القياسي.

يُنتقد الاقتصاد القياسي أحيانًا لاعتماده بشكل مفرط على تفسير نتائج الانحدار دون ربطها بالنظرية الاقتصادية أو البحث عن الآليات السببية. من الضروري أن تكون النتائج التي تكشفها البيانات قادرة على التفسير بشكل كافٍ بواسطة نظرية.

حساب الانحدار

غالبًا ما تستخدم نماذج الانحدار الخطي نهج المربعات الصغرى لتحديد خط الانحدار الأفضل. يتم تحديد تقنية المربعات الصغرى من خلال تقليل مجموع المربعات الذي يتم إنشاؤه بواسطة دالة رياضية. يتم تحديد المربع بدوره عن طريق تربيع المسافة بين نقطة البيانات وخط الانحدار أو القيمة المتوسطة لمجموعة البيانات.

بمجرد الانتهاء من هذه العملية (والتي تتم عادة اليوم باستخدام البرامج)، يتم بناء نموذج الانحدار. الشكل العام لكل نوع من نماذج الانحدار هو:

الانحدار الخطي البسيط:

Y = a + bX + u حيث أن Y = a + bX + u

الانحدار الخطي المتعدد:

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ... + btXt + u حيث:
Y = المتغير التابع الذي تحاول التنبؤ به أو تفسيره
X = المتغيرات المستقلة (التفسيرية) التي تستخدمها للتنبؤ أو الربط مع Y
a = نقطة تقاطع المحور y
b = (معامل بيتا) وهو ميل المتغيرات التفسيرية
u = الباقي أو الخطأ في الانحدار

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ... + btXt + u
حيث:
Y = المتغير التابع الذي تحاول التنبؤ به أو تفسيره
X = المتغيرات المستقلة (التفسيرية) التي تستخدمها للتنبؤ أو الربط مع Y
a = نقطة تقاطع المحور y
b = (معامل بيتا) وهو ميل المتغيرات التفسيرية
u = الباقي أو الخطأ في الانحدار

Y = a + b1X1 + b2X2 + b3X3 + ... + btXt + u
حيث:
Y = المتغير التابع الذي تحاول التنبؤ به أو تفسيره
X = المتغيرات المستقلة (التفسيرية) التي تستخدمها للتنبؤ أو الربط مع Y
a = نقطة تقاطع المحور y
b = (معامل بيتا) وهو ميل المتغيرات التفسيرية
u = الباقي أو الخطأ في الانحدار

مثال على كيفية استخدام تحليل الانحدار في التمويل

غالبًا ما تُستخدم الانحدارات لتحديد كيفية تأثير عوامل محددة - مثل سعر سلعة ما، أو معدلات الفائدة، أو صناعات أو قطاعات معينة - على حركة سعر أصل معين. يعتمد نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) المذكور أعلاه على الانحدار، ويُستخدم لتوقع العوائد المتوقعة للأسهم ولتوليد تكاليف رأس المال. يتم إجراء انحدار لعوائد السهم مقابل عوائد مؤشر أوسع، مثل مؤشر S&P 500، لتوليد بيتا للسهم المعين.

بيتا هو مقياس لمخاطر السهم بالنسبة للسوق أو المؤشر ويتم تمثيله كميل في نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM). العائد للسهم المعني سيكون هو المتغير التابع Y، بينما سيكون المتغير المستقل X هو علاوة مخاطر السوق.

يمكن إضافة متغيرات إضافية مثل القيمة السوقية للسهم، ونسب التقييم، والعوائد الأخيرة إلى نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) للحصول على تقديرات أفضل للعوائد. تُعرف هذه العوامل الإضافية بعوامل فاما-فرنش، نسبة إلى الأساتذة الذين طوروا نموذج الانحدار الخطي المتعدد لتحسين تفسير عوائد الأصول.

لماذا يُطلق عليه الانحدار؟

على الرغم من وجود بعض الجدل حول أصول الاسم، إلا أن التقنية الإحصائية الموصوفة أعلاه على الأرجح تم تسميتها "الانحدار" من قبل السير فرانسيس غالتون في القرن التاسع عشر لوصف الخاصية الإحصائية للبيانات البيولوجية (مثل أطوال الأشخاص في مجموعة سكانية) التي تميل إلى الانحدار نحو مستوى متوسط معين. بمعنى آخر، بينما يوجد أشخاص أقصر وأطول، فإن الحالات الشاذة فقط هي التي تكون طويلة جدًا أو قصيرة جدًا، ومعظم الناس يتجمعون في مكان ما حول (أو "ينحدرون" إلى) المتوسط.

ما هو الغرض من الانحدار؟

في التحليل الإحصائي، يتم استخدام الانحدار لتحديد العلاقات بين المتغيرات التي تحدث في بعض البيانات. يمكن أن يُظهر حجم هذه العلاقة ويحدد أهميتها الإحصائية. الانحدار هو أداة قوية للاستدلال الإحصائي وقد تم استخدامه لمحاولة التنبؤ بالنتائج المستقبلية بناءً على الملاحظات السابقة.

كيف تفسر نموذج الانحدار؟

قد يكون ناتج نموذج الانحدار في الشكل التالي: Y = 1.0 + (3.2)X1 - 2.0(X2) + 0.21.

هنا لدينا تحليل انحدار خطي متعدد يربط بين متغير Y ومتغيرين توضيحيين X1 وX2. يمكننا تفسير النموذج على أن قيمة Y تتغير بمقدار 3.2× لكل تغيير بوحدة واحدة في X1 (إذا زاد X1 بمقدار 2، فإن Y يزيد بمقدار 6.4، وهكذا) مع بقاء كل شيء آخر ثابتًا. هذا يعني أنه عند التحكم في X2، فإن X1 له هذه العلاقة الملحوظة. وبالمثل، عند تثبيت X1، فإن كل زيادة بوحدة واحدة في X2 ترتبط بانخفاض Y بمقدار 2×. يمكننا أيضًا ملاحظة نقطة التقاطع مع المحور y والتي تساوي 1.0، مما يعني أن Y = 1 عندما يكون كل من X1 وX2 يساويان صفرًا. مصطلح الخطأ (الباقي) هو 0.21.

ما هي الافتراضات التي يجب أن تتحقق لنماذج الانحدار؟

لفهم مخرجات نموذج الانحدار بشكل صحيح، يجب أن تتحقق الافتراضات الرئيسية التالية حول عملية البيانات الأساسية لما تقوم بتحليله:

• العلاقة بين المتغيرات خطية؛
• جميع المتغيرات التفسيرية مستقلة عن بعضها البعض؛

الخلاصة

الانحدار هو طريقة إحصائية تحاول تحديد قوة وطبيعة العلاقة بين متغير تابع وسلسلة من المتغيرات الأخرى. يُستخدم في المالية، والاستثمار، وغيرها من التخصصات.

تحليل الانحدار يكشف عن العلاقات بين المتغيرات التي تم ملاحظتها في البيانات، ولكنه لا يمكنه بسهولة تحديد السببية.