ما هو توزيع الاحتمالات؟
توزيع الاحتمالات هو دالة إحصائية تصف جميع القيم والاحتمالات الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي ضمن نطاق معين. سيكون هذا النطاق محصورًا بين القيم الدنيا والقصوى الممكنة. ومع ذلك، فإن المكان الذي من المحتمل أن يتم رسم القيمة الممكنة فيه على توزيع الاحتمالات يعتمد على عدة عوامل. تشمل هذه العوامل المتوسط (المعدل)، الانحراف المعياري، الالتواء، والتفلطح للتوزيع.
النقاط الرئيسية
- يوضح توزيع الاحتمالات النتائج المتوقعة للقيم المحتملة لعملية توليد البيانات المعطاة.
- تأتي التوزيعات الاحتمالية بأشكال متعددة وخصائص متنوعة.
- يتم تعريفها بواسطة المتوسط والانحراف المعياري والالتواء والتفرطح.
- يستخدم المستثمرون التوزيعات الاحتمالية لتوقع العوائد على الأصول مثل الأسهم بمرور الوقت وللتحوط ضد المخاطر.
كيف تعمل التوزيعات الاحتمالية
ربما يكون التوزيع الاحتمالي الأكثر شيوعًا هو التوزيع الطبيعي أو منحنى الجرس، على الرغم من أن هناك عدة توزيعات تُستخدم بشكل شائع. عادةً ما يحدد عملية توليد البيانات لظاهرة معينة توزيعها الاحتمالي. تُعرف هذه العملية بدالة الكثافة الاحتمالية.
يمكن استخدام التوزيعات الاحتمالية أيضًا لإنشاء دوال التوزيع التراكمي (CDFs) التي تجمع احتمالية الأحداث بشكل تراكمي. ستبدأ دائمًا من الصفر وتنتهي عند 100%.
قد يقوم الأكاديميون والمحللون الماليون ومديرو الصناديق بتحديد توزيع الاحتمالات لسهم معين لتقييم العوائد المتوقعة المحتملة التي قد يحققها السهم في المستقبل.
يمكن قياس تاريخ عوائد السهم من أي فترة زمنية، ومن المحتمل أن يتكون فقط من جزء من عوائد السهم. سيعرض هذا التحليل إلى خطأ أخذ العينات. يمكن تقليل هذا الخطأ بشكل كبير عن طريق زيادة حجم العينة.
التوزيع الاحتمالي المنفصل مقابل التوزيع الاحتمالي المستمر
التوزيعات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة هما نوعان أساسيان من التوزيعات الاحتمالية، وكل منهما يصف أنواعًا مختلفة من المتغيرات العشوائية. فهم الفروق بينهما ضروري لتطبيق الأساليب الإحصائية بشكل صحيح وتفسير البيانات.
تصف التوزيعات الاحتمالية المتقطعة السيناريوهات التي يكون فيها مجموعة النتائج الممكنة قابلة للعد ومحدودة أو قابلة للعد بشكل لا نهائي. تُستخدم هذه التوزيعات عندما يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذ قيمًا محددة ومتميزة.
على سبيل المثال، عدد مرات ظهور الوجه في 10 رميات لعملة معدنية أو عدد العملاء الذين يصلون إلى متجر في ساعة واحدة هي حالات لمتغيرات عشوائية منفصلة. في هذه السيناريوهات، يمكنك سرد جميع النتائج المحتملة، مثل صفر، واحد، اثنان، وهكذا. من المرجح أن تكون توزيعات الاحتمال المنفصلة أكثر "تقطعًا" نظرًا لوجود عدد أقل من النتائج.
على النقيض من ذلك، تنطبق التوزيعات الاحتمالية المستمرة على المتغيرات العشوائية التي يمكن أن تأخذ أي قيمة ضمن نطاق معين. هذه القيم غير قابلة للعد لأنها تحتوي على عدد لا نهائي من الاحتمالات ضمن أي فترة.
على سبيل المثال، الارتفاع الدقيق للأفراد في مجموعة سكانية أو الوقت الدقيق الذي يستغرقه إكمال مهمة ما هما متغيرات مستمرة. من المرجح أن تكون توزيعات الاحتمال المستمرة لديها منحنيات توزيع أكثر سلاسة نظرًا لوجود نتائج أكثر.
أنواع التوزيعات الاحتمالية
توزيعات الاحتمالات لها العديد من التصنيفات. تشمل هذه التصنيفات التوزيع الطبيعي، وتوزيع كاي تربيع، وتوزيع ذو الحدين، وتوزيع بواسون. تخدم هذه التوزيعات الاحتمالية أغراضًا مختلفة وتمثل عمليات توليد بيانات متنوعة.
ثنائي الحدين
تقوم التوزيعة ذات الحدين بتقييم احتمال حدوث حدث ما عدة مرات على مدى عدد معين من المحاولات، مع الأخذ في الاعتبار احتمال حدوث الحدث في كل محاولة. يمكن توليدها عن طريق تتبع عدد الرميات الحرة التي يسجلها لاعب كرة السلة في مباراة، حيث 1 = تسجيل الهدف و0 = عدم التسجيل.
مثال آخر هو استخدام عملة ومحاولة معرفة احتمال ظهور الوجه في 10 رميات متتالية. التوزيع ذو الحدين هو توزيع منفصل وليس مستمرًا لأن الإجابة الصحيحة تكون إما واحد أو صفر فقط.
عادي
التوزيع الأكثر استخدامًا هو التوزيع الطبيعي. يُستخدم هذا التوزيع بشكل متكرر في المالية والاستثمار والعلوم والهندسة. يتميز التوزيع الطبيعي بمتوسطه والانحراف المعياري الخاص به. لا يكون التوزيع منحرفًا ويظهر فيه التفلطح (kurtosis).
هذا يجعل التوزيع متماثلًا. يتم تصويره كمنحنى على شكل جرس عند رسمه. يتم تعريف التوزيع الطبيعي بمتوسط (معدل) يساوي صفرًا وانحراف معياري يساوي واحدًا مع انحراف يساوي صفرًا و"كورتوسيس" = 3.
حوالي 68% من البيانات المجمعة في التوزيع الطبيعي ستقع ضمن زائد أو ناقص انحراف معياري واحد عن المتوسط. وحوالي 95% ستقع ضمن زائد أو ناقص انحرافين معياريين، و99.7% ستقع ضمن زائد أو ناقص ثلاثة انحرافات معيارية. على عكس التوزيع ذو الحدين، فإن التوزيع الطبيعي مستمر. جميع القيم الممكنة ممثلة بدلاً من أن تكون فقط صفر وواحد دون أي شيء بينهما.
توزيع بواسون
توزيع بواسون هو توزيع احتمالي منفصل يقوم بنمذجة عدد الأحداث التي تحدث ضمن فترة زمنية أو مساحة ثابتة. يجب أن تحدث هذه الأحداث بشكل مستقل عن بعضها البعض، ويجب أن يكون المعدل المتوسط (عدد الحوادث المتوقع) ثابتًا.
الخاصية الرئيسية لتوزيع بواسون هي أنه يصف احتمال حدوث عدد معين من الأحداث ضمن فترة زمنية محددة عندما تكون هذه الأحداث نادرة ومستقلة.
يُستخدم توزيع بواسون في العديد من التطبيقات الواقعية حيث تحدث الأحداث بشكل عشوائي ومستقل. على سبيل المثال، يمكن أن يُستخدم لنمذجة عدد وصول العملاء إلى بنك خلال ساعة، أو عدد الرسائل الإلكترونية المستلمة في يوم، أو عدد المكالمات الهاتفية في مركز اتصال في الدقيقة.
التوزيعات الاحتمالية المستخدمة في الاستثمار
غالبًا ما يُفترض أن عوائد الأسهم تتبع التوزيع الطبيعي، ولكنها تظهر التفلطح (kurtosis) حيث يبدو أن العوائد السلبية والإيجابية الكبيرة تحدث أكثر مما يمكن توقعه من خلال التوزيع الطبيعي.
يُوصف توزيع عوائد الأسهم بأنه يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي لأن أسعار الأسهم تكون محدودة بالصفر ولكنها تقدم إمكانية غير محدودة للارتفاع. يظهر هذا في رسم بياني لعوائد الأسهم حيث تكون ذيول التوزيع أكثر سمكًا.
غالبًا ما تُستخدم التوزيعات الاحتمالية في إدارة المخاطر أيضًا لتقييم احتمال وحجم الخسائر التي قد يتكبدها محفظة استثمارية بناءً على توزيع العوائد التاريخية.
أحد المقاييس الشائعة لإدارة المخاطر المستخدمة في الاستثمار هو القيمة المعرضة للخطر (VaR). تقدم القيمة المعرضة للخطر الحد الأدنى للخسارة التي يمكن أن تحدث بالنظر إلى الاحتمالية والإطار الزمني لمحفظة استثمارية. يمكن للمستثمر أيضًا الحصول على احتمالية الخسارة لمبلغ معين من الخسارة والإطار الزمني باستخدام القيمة المعرضة للخطر. تم الإشارة إلى سوء الاستخدام والاعتماد المفرط على القيمة المعرضة للخطر كأحد الأسباب الرئيسية لأزمة الأزمة المالية لعام 2008.
توزيع الاحتمالات ونظرية الحد المركزي
نظرية الحد المركزي (CLT) هي مبدأ إحصائي ينص على أن توزيع مجموع عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة في التوزيع يقترب من التوزيع الطبيعي.
تعتبر هذه النظرية مهمة لأنها تتيح للإحصائيين إجراء استنتاجات حول معلمات المجتمع الإحصائي حتى عندما تكون توزيع المجتمع غير معروف، طالما أن حجم العينة كبير بما فيه الكفاية.
أحد الآثار الرئيسية لنظرية الحد المركزي (CLT) هو أنه بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة، سيكون التوزيع العيني لمتوسط العينة موزعًا بشكل تقريبي وفقًا للتوزيع الطبيعي.
على سبيل المثال، تخيل أن لديك فصلًا من الطلاب حيث يختلف طول كل طالب، ولكن في المتوسط، يميلون إلى أن يكونوا حوالي 5 أقدام مع بعض التفاوت. وفقًا لنظرية الحد المركزي (CLT)، فإن توزيع عينات متوسط الطول سيميل إلى اتباع منحنى طبيعي (على شكل جرس).
مثال على توزيع الاحتمالات
انظر إلى الرقم الذي يظهر عند رمي زهرين قياسيين بستة أوجه. كل زهر لديه احتمال 1/6 للحصول على أي رقم فردي من واحد إلى ستة، لكن مجموع الزهرين سيشكل توزيع الاحتمالات الموضح في هذه الصورة. الرقم سبعة هو النتيجة الأكثر شيوعًا (1+6، 6+1، 5+2، 2+5، 3+4، 4+3). أما الرقمين اثنين واثني عشر فهما أقل احتمالًا بكثير (1+1 و6+6).
ما الذي يجعل توزيع الاحتمالات صالحًا؟
هناك خطوتان لتحديد ما إذا كان توزيع الاحتمالات صالحًا. يجب أن تحدد التحليل في الخطوة الأولى ما إذا كانت كل احتمالية أكبر من أو تساوي صفر وأقل من أو تساوي واحد. في الخطوة الثانية، يجب تحديد ما إذا كان مجموع جميع الاحتمالات يساوي واحد. يكون توزيع الاحتمالات صالحًا إذا كانت كل من الخطوة الأولى والخطوة الثانية صحيحة.
كيف تُستخدم التوزيعات الاحتمالية في التمويل؟
يتم استخدام التوزيعات الاحتمالية في التمويل بطريقتين رئيسيتين:
- لتقدير العوائد من أصل استثماري
- لتحديد إمكانية حدوث أحداث خسارة والتي ستسمح للمستثمر بالتحوط ضد المخاطر الخاصة بهم.
ما هي التوزيعات الاحتمالية الأكثر شيوعًا؟
التوزيعات الاحتمالية الأكثر استخدامًا هي التوزيع المنتظم، والتوزيع الثنائي (binomial)، وتوزيع برنولي (Bernoulli)، والتوزيع الطبيعي، وتوزيع بواسون (Poisson)، والتوزيع الأسي (exponential).
ما الفرق بين الاحتمالات و الأرجحية؟
تقيس الاحتمالية مدى احتمال حدوث حدث معين، ويتم التعبير عنها كنسبة بين عدد النتائج المواتية إلى العدد الإجمالي للنتائج الممكنة. من ناحية أخرى، تمثل الاحتمالات النسبة بين احتمال حدوث حدث ما إلى احتمال عدم حدوثه. على سبيل المثال، إذا كانت احتمالية الفوز في لعبة هي 0.25، فإن الاحتمالات تكون 1:3 (فوز واحد مقابل ثلاث خسائر).
ما هو قانون الأعداد الكبيرة؟
ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه مع زيادة عدد التجارب أو الاختبارات، يقترب متوسط النتائج المحصل عليها من القيمة المتوقعة أو الاحتمال الحقيقي. يضمن هذا المبدأ أن المتوسط العيني يقترب من المتوسط السكاني مع جمع المزيد من الملاحظات، مما يوفر استقرارًا للاستدلال الإحصائي.
الخلاصة
تصف التوزيعات الاحتمالية جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي. يُستخدم هذا في الاستثمار، خاصة في تحديد الأداء المحتمل للسهم وكذلك في مكون إدارة المخاطر في الاستثمار من خلال المساعدة في تحديد الحد الأقصى للخسارة.