ما هو قانون الجمع للاحتمالات؟
تصف قاعدة الجمع للاحتمالات صيغتين، إحداهما لاحتمال حدوث أي من حدثين متنافيين، والأخرى لاحتمال حدوث حدثين غير متنافيين.
الصيغة الأولى هي مجرد مجموع احتمالات الحدثين. الصيغة الثانية هي مجموع احتمالات الحدثين مطروحًا منها احتمال حدوث كلاهما.
النقاط الرئيسية
- تتكون قاعدة الجمع للاحتمالات من قاعدتين أو صيغتين، إحداهما تتناسب مع حدثين متنافيين والأخرى تتناسب مع حدثين غير متنافيين.
- يعني عدم التنافي أن هناك تداخلًا بين الحدثين المعنيين، وتقوم الصيغة بتعويض ذلك عن طريق طرح احتمال التداخل، P(Y و Z)، من مجموع احتمالات Y و Z.
- من الناحية النظرية، يُعتبر الشكل الأول من القاعدة حالة خاصة من الشكل الثاني.
قواعد جمع الاحتمالات هي
رياضيًا، يتم التعبير عن احتمال حدوث حدثين متنافيين بالصيغة التالية:
احتمال (Y أو Z) يساوي احتمال (Y) زائد احتمال (Z).
رياضيًا، يتم التعبير عن احتمال حدوث حدثين غير متنافيين بواسطة:
احتمال (Y أو Z) يساوي احتمال (Y) زائد احتمال (Z) ناقص احتمال (Y و Z).
ماذا يخبرك قانون الجمع للاحتمالات؟
لتوضيح القاعدة الأولى في قاعدة الجمع للاحتمالات، فكر في نرد له ستة أوجه وفرص الحصول على الرقم 3 أو 6. بما أن فرص الحصول على الرقم 3 هي 1 من 6 وفرص الحصول على الرقم 6 هي أيضًا 1 من 6، فإن فرصة الحصول على الرقم 3 أو 6 هي:
واحد على ستة زائد واحد على ستة يساوي اثنين على ستة يساوي واحد على ثلاثة.
لتوضيح القاعدة الثانية، لنفترض أن هناك صفًا يحتوي على 9 أولاد و11 فتاة. في نهاية الفصل الدراسي، حصلت 5 فتيات و4 أولاد على درجة B. إذا تم اختيار طالب عشوائيًا، ما هي الاحتمالات أن يكون الطالب إما فتاة أو طالب حصل على درجة B؟ نظرًا لأن احتمالات اختيار فتاة هي 11 من 20، واحتمالات اختيار طالب حصل على درجة B هي 9 من 20، واحتمالات اختيار فتاة حصلت على درجة B هي 5 من 20، فإن احتمالات اختيار فتاة أو طالب حصل على درجة B هي:
11 على 20 زائد 9 على 20 ناقص 5 على 20 يساوي 15 على 20 يساوي 3 على 4
في الواقع، تتبسط القاعدتان إلى قاعدة واحدة فقط، وهي القاعدة الثانية. وذلك لأن في الحالة الأولى، احتمال حدوث حدثين متنافيين معًا هو 0. في المثال مع النرد، من المستحيل أن تحصل على 3 و6 في رمية واحدة لنرد واحد. لذا فإن الحدثين متنافيان.
التنافي المتبادل
المصطلح "متنافيان" في الإحصاء يصف حدثين أو أكثر لا يمكن أن يحدثا في نفس الوقت. يُستخدم عادةً لوصف حالة حيث يؤدي حدوث نتيجة واحدة إلى استبعاد الأخرى. كمثال بسيط، فكر في رمي النرد. لا يمكنك الحصول على خمسة وثلاثة في نفس الوقت على نرد واحد. علاوة على ذلك، الحصول على ثلاثة في الرمية الأولى لا يؤثر على ما إذا كانت الرمية التالية ستنتج خمسة أم لا. جميع رميات النرد هي أحداث مستقلة.