الاحتمال الشرطي: الصيغة والأمثلة الواقعية

تعريف

يقيس الاحتمال الشرطي مدى احتمال حدوث حدث أو نتيجة معينة بناءً على وقوع حدث سابق.

ما هو الاحتمال الشرطي؟

الاحتمال الشرطي هو مبدأ في نظرية الاحتمالات. يتعلق بالاحتمال أن يحدث حدث معين بناءً على حقيقة أن حدثًا سابقًا قد حدث بالفعل.

يتضمن ذلك حدثين أو أكثر غير مستقلين، ويطرح السؤال: "إذا علمنا أن الحدث A قد حدث، فما هو احتمال حدوث الحدث B أيضًا؟" يتم حساب الاحتمال الشرطي عن طريق ضرب احتمال الحدث السابق في الاحتمال المحدث للحدث اللاحق، أو الشرطي.

النقاط الرئيسية

• يشير الاحتمال الشرطي إلى فرص حدوث نتيجة معينة (A) بشرط أن يكون حدث آخر (B) قد حدث بالفعل.
• في الاحتمالات، يُكتب هذا على أنه A بشرط B، أو بهذه الصيغة: P(A|B)، حيث تعتمد احتمالية حدوث A على حدوث B.
• يمكن مقارنة الاحتمال الشرطي مع الاحتمال غير الشرطي.
• يتم تصنيف الاحتمالات إلى احتمالات شرطية، أو هامشية (الاحتمال الأساسي دون أي اعتماد على حدث آخر)، أو مشتركة (احتمال حدوث حدثين معًا).
• نظرية بايز هي صيغة رياضية يمكنها حساب الاحتمالات الشرطية المتعلقة بالأحداث غير المؤكدة.

فهم الاحتمال الشرطي

يقيس الاحتمال الشرطي مدى احتمالية حدوث نتيجة معينة (A)، بناءً على وقوع حدث سابق (B).

يُقال إن حدثين مستقلان إذا كان حدوث أحدهما لا يؤثر على احتمال حدوث الحدث الآخر. ومع ذلك، إذا كان حدوث (أو عدم حدوث) أحد الأحداث يؤثر على احتمال حدوث الحدث الآخر، فإن الحدثين يُعتبران معتمدين.

مثال على الأحداث المعتمدة هو ارتفاع سعر سهم الشركة بعد أن تعلن الشركة عن أرباح أعلى من المتوقع.

إذا كانت الأحداث مستقلة، فإن احتمال حدوث الحدث B لا يعتمد على ما يحدث مع الحدث A. على سبيل المثال، زيادة في أسهم شركة Apple ليس لها علاقة بانخفاض أسعار القمح.

غالبًا ما يُكتب الاحتمال الشرطي على أنه "احتمال A المعطى B" ويُرمز له بـ P(A|B).

أنواع أخرى من الاحتمالات

• لا تمتلك الاحتمالية المستقلة ذلك الترابط، وبدلاً من ذلك تنظر إلى احتمال حدوث حدث ما بشكل منفصل لأنه يُعتقد أنه مستقل.

بشكل عام، بينما تقيس الاحتمالات الهامشية والمشتركة الأحداث الفردية والمزدوجة، يمكن للاحتمال الشرطي قياس الأسبقية والاعتماد بين الأحداث.

صيغة الاحتمال الشرطي

P(B∣A) = P(A و B) / P(A)
P(B∣A) = P(A و B) / P(A)
P(B∣A) = P(A و B) / P(A)

أو:

احتمال B بشرط A يساوي احتمال A تقاطع B مقسومًا على احتمال A.

حيث تمثل الحروف ما يلي:

P = الاحتمالية (Probability)

A = الحدث A

B = الحدث B

الاحتمال غير المشروط، المعروف أيضًا بالاحتمال الهامشي، يقيس فرصة حدوث شيء ما مع تجاهل أي معرفة بالأحداث السابقة أو الخارجية. نظرًا لأن هذا الاحتمال يتجاهل أيضًا المعلومات الجديدة، فإنه يظل ثابتًا.

أمثلة على الاحتمال الشرطي

مثال 1: الكرات في كيس

مثال على الاحتمال الشرطي باستخدام الكرات موضح أدناه. الخطوات هي كما يلي:

الخطوة 1: فهم السيناريو

في البداية، لديك كيس يحتوي على ست كرات حمراء، وثلاث كرات زرقاء، وواحدة خضراء. وبالتالي، يوجد 10 كرات في الكيس.

الخطوة 2: تحديد الأحداث

يتم تعريف حدثين:

• الحدث A: سحب كرة رخامية حمراء من الكيس
• الحدث ب: سحب كرة رخامية ليست خضراء

الخطوة 3: احسب احتمال الحدث B: P(B)

الحدث B هو سحب كرة ليست خضراء. هناك 10 كرات إجمالاً، تسع منها ليست خضراء: وهي الكرات الست الحمراء والثلاث الزرقاء.

احتمال (B) يساوي (عدد الكرات التي ليست خضراء) مقسومًا على (إجمالي عدد الكرات) ويساوي 9 على 10.

الخطوة 4: حدد تقاطع الحدثين A و B: احتمال A تقاطع B، P(A∩B)

تقاطع الحدثين A و B يتضمن سحب كرة حمراء ليست خضراء. نظرًا لأن جميع الكرات الحمراء ليست خضراء، فإن التقاطع بسيط: وهو الحدث المتمثل في سحب كرة حمراء.

الخطوة 5: احسب احتمال تقاطع الحدثين A و B: P(A∩B)

احتمال (A ∩ B) يساوي (عدد الكرات الحمراء) مقسومًا على (إجمالي عدد الكرات) يساوي 6 مقسومًا على 10 يساوي 3 مقسومًا على 5.

الخطوة 6: احسب الاحتمال الشرطي: P(A|B)

باستخدام صيغة الاحتمال الشرطي، P(A|B)، أي احتمال سحب كرة حمراء بشرط أن الكرة المسحوبة ليست خضراء، يتم حساب الاحتمال.

احتمال A بشرط B يساوي احتمال A تقاطع B مقسومًا على احتمال B، والذي يساوي ثلاثة على خمسة مقسومًا على تسعة على عشرة، وهذا يساوي اثنين على ثلاثة.

النتيجة: الاحتمال الشرطي لسحب كرة حمراء بشرط أن الكرة المسحوبة ليست خضراء هو 2/3.

مثال 2: رمي نرد عادل

لننظر في مثال آخر لاحتمال الشرط باستخدام نرد عادل. الخطوات هي كما يلي:

الخطوة 1: فهم السيناريو

لديك نرد عادل ذو ستة أوجه. تريد تحديد احتمال الحصول على رقم زوجي، بشرط أن يكون الرقم الذي تم رميه أكبر من أربعة.

الأرقام الممكنة التي يمكن أن تظهر على النرد والتي تكون أكبر من أربعة هي 5 و6. من بين هذه الأرقام، الرقم الزوجي الوحيد هو 6.

لذلك، احتمال الحصول على رقم زوجي، بشرط أن يكون الرقم أكبر من أربعة، هو 1 من أصل 2.

إذن، الاحتمال هو 1/2 أو 50%.

الخطوة 2: تحديد الأحداث

النتائج المحتملة (فضاء العينة) لنرد سداسي الجوانب هي الأرقام من واحد إلى ستة. من هذه القائمة، يمكنك تعريف الحدثين التاليين:

• الحدث A: رمي عدد زوجي. الحدث A يعني رمي {2، 4، 6}.
• الحدث ب: رمي رقم أكبر من أربعة. الحدث ب يعني رمي {5,6}.

الخطوة 3: احسب احتمال كل حدث

يمكن حساب احتمال كل حدث عن طريق قسمة عدد النتائج المواتية (النتائج التي تبحث عنها) على العدد الإجمالي للنتائج في فضاء العينة.

P(A) هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي النرد. هناك ثلاثة أعداد زوجية {2، 4، 6} من بين ستة نتائج ممكنة. وبالتالي، P(A) = 3/6 = 1/2.

P(B) هو احتمال الحصول على رقم أكبر من أربعة. هناك رقمان أكبر من أربعة {5، 6} من بين ستة نتائج ممكنة. وبالتالي، P(B) = 2/6 = 1/3.

الخطوة 4: حدد تقاطع الحدثين A و B

تقاطع الحدثين A و B يشمل النتائج التي تحقق كلا الشرطين في نفس الوقت. في هذه الحالة، يعني ذلك رمي رقم يكون زوجيًا وأيضًا أكبر من أربعة. النتيجة الوحيدة التي تحقق كلا الشرطين هي رمي الرقم ستة.

الخطوة 5: احسب احتمال تقاطع الحدثين A و B.

سنوضح هذا الأمر، حتى لو كان بسيطًا، نظرًا لما سبق، لأن أمثلة أخرى قد تكون أكثر صعوبة: P(A∩B) هو احتمال الحصول على الرقم ستة لأن الستة هو النتيجة الوحيدة التي تكون زوجية وأكبر من أربعة. هناك نتيجة واحدة من بين ستة احتمالات. لذا فإن P(A∩B) = 1/6.

الخطوة 6: احسب الاحتمال الشرطي: P(B|A)

الصيغة الخاصة بالاحتمال الشرطي هي كما يلي:

احتمال B بشرط A يساوي احتمال A تقاطع B مقسومًا على احتمال A.

عند استبدال القيم في المعادلة، تكون النتيجة كما يلي:

احتمال B بشرط A يساوي (1/6) مقسومًا على (1/2) ويساوي 1/3.

النتيجة: هذا يعني أنه إذا كان الرقم الذي تم رميه على النرد زوجيًا، فإن احتمال أن يكون هذا الرقم أيضًا أكبر من أربعة هو 1/3.

مثال 3: احتمالات شرطية متعددة

سيناريو آخر يتضمن طالبًا يتقدم للالتحاق بكلية ويأمل في الحصول على منحة دراسية ومخصصات للكتب والوجبات والسكن. الخطوات لتحديد الاحتمال الشرطي للحصول على المخصصات والمنحة الدراسية هي كما يلي:

الخطوة 1: فهم السيناريو

أولاً، يرغب الطالب في معرفة احتمالية قبوله في الجامعة. ثم، إذا تم قبوله، يود الطالب الحصول على منحة دراسية أكاديمية. علاوة على ذلك، إذا كان ذلك ممكنًا، يود الطالب أيضًا الحصول على مخصصات للكتب والوجبات والسكن إذا حصل على المنحة الدراسية.

الخطوة 2: تحديد الأحداث

هناك ثلاثة أحداث:

• الحدث A: القبول في الجامعة.
• الحدث ب: الحصول على منحة دراسية عند القبول
• الحدث ج: تلقي منحة مالية للكتب والوجبات والسكن عند الحصول على منحة دراسية.

الخطوة 3: حساب احتمال القبول (الحدث A)

تقبل الجامعة 100 من كل 1,000 متقدم لديهم طلبات مشابهة للطالب. وبالتالي، فإن احتمال قبول الطالب هو P(A) = 100/1000 = 0.10 أو 10%.

الخطوة 4: حدد احتمال الحصول على منحة دراسية بمجرد القبول: P(B|A)

من المعروف أنه من بين الطلاب المقبولين، يحصل 10 من كل 500 على منحة دراسية. وبالتالي، فإن احتمال الحصول على منحة دراسية عند القبول هو كما يلي:

احتمال B بشرط A يساوي 10 مقسومًا على 500، وهو ما يعادل 0.02 أو 2%.

الخطوة 5: احسب احتمال القبول والحصول على منحة دراسية.

لحساب احتمال القبول والحصول على منحة دراسية أيضًا، يتم ضرب احتمال القبول في الاحتمال الشرطي للحصول على منحة دراسية عند القبول.

احتمال حدوث A و B معًا، والذي يُرمز له بـ P(A ∩ B)، يساوي احتمال حدوث A مضروبًا في احتمال حدوث B بشرط حدوث A، والذي يُرمز له بـ P(B ∣ A). في هذه الحالة، الحساب هو 0.1 مضروبًا في 0.02، مما يساوي 0.002، والذي يُعبر عنه أيضًا بنسبة 0.2%.

الخطوة 6: حدد احتمال الحصول على منحة مالية بعد الحصول على منحة دراسية: P(C|B)

من المعروف أيضًا أن من بين الحاصلين على المنح الدراسية، يحصل 50% على منحة لتغطية تكاليف الكتب والوجبات والسكن. وبالتالي، احتمال P(C|B) يساوي 0.5 أو 50%.

الخطوة 7: احسب احتمال القبول، الحصول على منحة دراسية، والحصول على راتب.

لحساب احتمال قبول الطالب، والحصول على منحة دراسية، ثم الحصول أيضًا على راتب، يتم ضرب احتمالات الأحداث.

احتمال حدوث الأحداث A و B و C معًا، والذي يُرمز له بـ P(A ∩ B ∩ C)، يساوي احتمال الحدث A مضروبًا في احتمال الحدث B بشرط حدوث A، مضروبًا في احتمال الحدث C بشرط حدوث B.

إذن، P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B ∣ A) × P(C ∣ B) = 0.1 × 0.02 × 0.5 = 0.001 = 0.1%.

يوضح هذا التحليل خطوة بخطوة كيفية حساب الاحتمالات لكل سيناريو باستخدام صيغ الاحتمالات الأساسية والاحتمال الشرطي.

الاحتمال الشرطي مقابل الاحتمال المشترك والاحتمال الهامشي

دعونا الآن نميز بين حساب الاحتمال الشرطي وأنواع الاحتمالات الأخرى.

الاحتمال الشرطي

المثال هذه المرة هو مجموعة عادية من البطاقات. تم تعريف حدثين:

• الحدث A: سحب بطاقة تحمل الرقم أربعة
• الحدث ب: سحب بطاقة حمراء

تحتوي مجموعة أوراق اللعب القياسية على 52 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات (القلوب، والماس، والنوادي، والبستوني). القلوب والماس باللون الأحمر، بينما النوادي والبستوني باللون الأسود. تحتوي كل مجموعة على 13 بطاقة: الآس، ثم الأرقام من اثنين إلى عشرة، ثم بطاقات الوجه وهي الجاك، والملكة، والملك.

يحتوي الحزمة على 26 بطاقة حمراء، 13 من القلوب و13 من الألماس. وبالتالي، فإن احتمال سحب بطاقة حمراء هو P(B) = 26/52 = 1/2.

داخل البطاقات الحمراء يوجد بطاقة أربعة من القلوب وأربعة من الألماس. لذلك، إذا كان يجب سحب بطاقة حمراء، يجب النظر في مجموعة فرعية من الأوراق التي تحتوي فقط على هذه البطاقات الحمراء الـ26.

بالنظر إلى أنه تم سحب بطاقة حمراء، يتم حساب احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة هي الرقم أربعة كما يلي:

احتمال A بشرط B يساوي (عدد البطاقات الحمراء التي تحمل الرقم أربعة) مقسومًا على (إجمالي عدد البطاقات الحمراء) ويساوي 2 مقسومًا على 26، وهو ما يعادل 1 مقسومًا على 13.

الاحتمال الهامشي

الاحتمال الهامشي، P(A)، هو احتمال حدوث الحدث A بمفرده. لا يأخذ في الاعتبار حدوث أي حدث آخر.

نظرًا لأن الحدث A هو سحب بطاقة تحمل الرقم أربعة، يتم حساب احتمال A بقسمة عدد البطاقات التي تحمل الرقم أربعة على العدد الإجمالي للبطاقات في المجموعة.

احتمال (A) يساوي (عدد البطاقات التي تحتوي على الرقم أربعة في المجموعة) مقسومًا على (إجمالي عدد البطاقات في المجموعة) ويساوي 4 مقسومًا على 52، وهو ما يعادل 1 مقسومًا على 13.

الاحتمال المشترك

الاحتمال المشترك هو احتمال حدوث حدثين أو أكثر في نفس الوقت. يُرمز إليه بـ P(A∩B)، وهو احتمال حدوث الحدثين A وB معًا.

بافتراض أن الأحداث السابقة هي نفسها، أي أن الحدث A هو سحب بطاقة تكون أربعة والحدث B هو سحب بطاقة حمراء، يمكننا إيجاد الاحتمال المشترك لسحب بطاقة تكون أربعة وحمراء في نفس الوقت.

هناك بطاقتان تفيان بكلا المعيارين، وهما أربعة القلوب وأربعة الألماس. وبالتالي، يتم حساب الاحتمال المشترك لسحب بطاقة تكون أربعة وأيضًا حمراء كما يلي:

احتمال (A ∩ B) يساوي (عدد البطاقات الحمراء ذات الرقم أربعة) مقسومًا على (إجمالي عدد البطاقات) ويساوي 2 مقسومًا على 52، وهو ما يعادل 1 مقسومًا على 26.

نظرية بايز والاحتمال الشرطي

نظرية بايز تُستخدم لحساب الاحتمالات الشرطية عند التعامل مع الأحداث غير المؤكدة. في الاستثمار، تتيح لك هذه النظرية تحديث تقديراتك الاحتمالية لنتيجة السوق عندما تحصل على بيانات جديدة ذات صلة.

على سبيل المثال، افترض أنك تريد معرفة احتمال أن يحقق مؤشر S&P 500 نسبة عائد إيجابية هذا العام، بالنظر إلى الأرقام الأولية للناتج المحلي الإجمالي (GDP). في هذه الحالة، ستبدأ بنظرية بايز، مع الأخذ في الاعتبار معدلات العائد التاريخية للمؤشر للحصول على تقدير أولي للتوسع الاقتصادي المتوقع.

ستقوم بعد ذلك بمراجعة هذا الاحتمال الأول باستخدام أحدث تقديرات الناتج المحلي الإجمالي. سيوفر ذلك تقييمات احتمالية أكثر دقة تأخذ في الاعتبار جميع الأدلة مع تقدم العام.

بينما قد يكون معقدًا بعض الشيء من الناحية الرياضية، فإن مبرهنة بايز منطقية للغاية. إذا اكتشف المستثمر معلومات اقتصادية جديدة ذات صلة بالعوائد المحتملة للسوق، فمن المنطقي دمج هذه البيانات للحصول على حساب أكثر دقة.

قام الوزير الإنجليزي في القرن الثامن عشر، توماس بايز، بتطوير هذه التقنية الإحصائية التي لا تزال محورية في النمذجة المالية وغيرها من المجالات التي تتطلب التنبؤات في ظل ظروف غير مؤكدة.

ما هو حاسبة الاحتمال الشرطي؟

حاسبة الاحتمال الشرطي هي أداة عبر الإنترنت تحسب الاحتمال الشرطي. توفر هذه الأداة احتمال حدوث الحدث الأول والثاني. توفر حاسبة الاحتمال الشرطي على المستخدم القيام بالحسابات يدويًا.

ما الفرق بين الاحتمال والاحتمال الشرطي؟

الاحتمالية تنظر إلى احتمال حدوث حدث واحد. الاحتمالية الشرطية تنظر إلى حدوث حدثين بالنسبة لبعضهما البعض. بشكل أكثر تحديدًا، تنظر إلى احتمال حدوث الحدث الثاني بناءً على احتمال حدوث الحدث الأول.

ما هو الاحتمال المسبق؟

الاحتمال المسبق هو احتمال حدوث حدث ما قبل جمع أي بيانات. إنه الاحتمال كما تحدده الاعتقادات المسبقة. الاحتمال المسبق هو جزء من الاستدلال الإحصائي البايزي، حيث يمكنك تعديل هذه الاعتقادات والوصول رياضياً إلى الاحتمال اللاحق.

ما هو الاحتمال المركب؟

يهدف احتمال الأحداث المركبة إلى تحديد احتمالية حدوث حدثين مستقلين. يتم حساب احتمال الأحداث المركبة عن طريق ضرب احتمال الحدث الأول في احتمال الحدث الثاني. المثال الأكثر شيوعًا هو قلب عملة مرتين ومعرفة ما إذا كانت النتيجة الثانية ستكون مماثلة للأولى.

الخلاصة

تدرس الاحتمالية الشرطية احتمال حدوث حدث معين بناءً على احتمال حدوث حدث سابق. يعتمد الحدث الثاني على الحدث الأول.

على سبيل المثال، قد نرغب في معرفة احتمال ارتفاع سعر سهم معين إذا كان المؤشر الخاص بقطاعه في ارتفاع. تأخذ حسابات الاحتمال الشرطي في الاعتبار كلا الأمرين، مدى احتمال حدوث الحدث الأول (ارتفاع سعر السهم)، وكذلك مدى تداخل الحدثين.