نظرية بايز، التي سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني في القرن الثامن عشر توماس بايز، هي صيغة رياضية لتحديد الاحتمال الشرطي. الاحتمال الشرطي هو احتمال حدوث نتيجة بناءً على نتيجة سابقة في ظروف مشابهة. توفر نظرية بايز طريقة لمراجعة التنبؤات أو النظريات الحالية (تحديث الاحتمالات) عند توفر أدلة جديدة أو إضافية.
في مجال التمويل، يمكن استخدام نظرية بايز لتقييم المخاطر عند إقراض الأموال للمقترضين المحتملين. تُعرف النظرية أيضًا باسم قاعدة بايز أو قانون بايز وهي الأساس لمجال الإحصاء البايزي.
النقاط الرئيسية
- يسمح لك مبرهنة بايز بتحديث الاحتمالات المتوقعة لحدث ما من خلال دمج معلومات جديدة.
- سميت نظرية بايز نسبة إلى عالم الرياضيات في القرن الثامن عشر توماس بايز.
- غالبًا ما يُستخدم في التمويل لحساب أو تحديث تقييم المخاطر.
- لم يُستخدم النظرية لمدة قرنين بسبب الحاجة إلى قدرة حسابية عالية لتنفيذ معاملاتها.
فهم نظرية بايز
تطبيقات نظرية بايز واسعة الانتشار ولا تقتصر على المجال المالي. على سبيل المثال، يمكن استخدام نظرية بايز لتحديد دقة نتائج الفحوصات الطبية من خلال أخذ في الاعتبار مدى احتمال إصابة أي شخص بمرض معين والدقة العامة للاختبار. تعتمد نظرية بايز على دمج توزيعات الاحتمالات السابقة لتوليد الاحتمالات اللاحقة.
في الاستدلال الإحصائي البايزي، تمثل الاحتمالية السابقة احتمال حدوث حدث قبل جمع بيانات جديدة. بمعنى آخر، تمثل أفضل تقييم منطقي لاحتمالية نتيجة معينة بناءً على المعرفة الحالية قبل إجراء تجربة.
الاحتمال اللاحق هو الاحتمال المعدل لحدوث حدث ما بعد أخذ المعلومات الجديدة في الاعتبار. يتم حساب الاحتمال اللاحق عن طريق تحديث الاحتمال السابق باستخدام نظرية بايز. من الناحية الإحصائية، الاحتمال اللاحق هو احتمال حدوث الحدث A، بشرط أن يكون الحدث B قد حدث.
اعتبارات خاصة
يعطي مبرهنة بايز احتمال حدوث حدث بناءً على معلومات جديدة قد تكون مرتبطة بهذا الحدث. يمكن أيضًا استخدام الصيغة لتحديد كيف يمكن أن يتأثر احتمال حدوث حدث بمعلومات جديدة افتراضية، بافتراض أن المعلومات الجديدة ستثبت صحتها.
على سبيل المثال، فكر في سحب بطاقة واحدة من مجموعة كاملة مكونة من 52 بطاقة.
هناك أربعة ملوك في مجموعة الورق، لذا فإن احتمال أن تكون البطاقة ملكًا هو أربعة مقسومًا على 52، وهو ما يعادل 1/13 أو تقريبًا 7.69%. الآن، لنفترض أنه تم الكشف عن أن البطاقة المختارة هي بطاقة وجه. احتمال أن تكون البطاقة المختارة ملكًا، بشرط أن تكون بطاقة وجه، هو أربعة مقسومًا على 12، أو تقريبًا 33.3%، حيث يوجد 12 بطاقة وجه في المجموعة.
صيغة نظرية بايز
P(A ∣ B) = P(A ⋂ B) / P(B) = P(A) ⋅ P(B ∣ A) / P(B) حيث:
P(A) = احتمال حدوث A
P(B) = احتمال حدوث B
P(A ∣ B) = احتمال حدوث A بشرط حدوث B
P(B ∣ A) = احتمال حدوث B بشرط حدوث A
P(A ⋂ B) = احتمال حدوث كل من A و B
P(A ∣ B) يساوي P(A ⋂ B) مقسومًا على P(B)، وهو أيضًا يساوي P(A) مضروبًا في P(B ∣ A) مقسومًا على P(B). حيث:
P(A) هو احتمال حدوث A
P(B) هو احتمال حدوث B
P(A ∣ B) هو احتمال حدوث A بشرط حدوث B
P(B ∣ A) هو احتمال حدوث B بشرط حدوث A
P(A ⋂ B) هو احتمال حدوث كل من A و B
أمثلة على نظرية بايز
فيما يلي مثالان على نظرية بايز. المثال الأول يوضح كيفية اشتقاق الصيغة من مثال على الاستثمار في الأسهم باستخدام شركة Amazon.com Inc. (AMZN). المثال الثاني يطبق نظرية بايز على اختبار الأدوية الصيدلانية.
اشتقاق صيغة نظرية بايز
يتبع مبرهنة بايز ببساطة من بديهيات الاحتمال الشرطي، وهو احتمال حدوث حدث معين بشرط حدوث حدث آخر. على سبيل المثال، قد يسأل سؤال بسيط عن الاحتمالات: "ما هو احتمال انخفاض سعر سهم Amazon.com؟" يأخذ الاحتمال الشرطي هذا السؤال خطوة أبعد من خلال السؤال: "ما هو احتمال انخفاض سعر سهم AMZN بشرط أن مؤشر داو جونز الصناعي (DJIA) قد انخفض سابقًا؟"
يمكن التعبير عن الاحتمال الشرطي للحدث A، بشرط حدوث الحدث B، كما يلي:
إذا كان A هو: "انخفاض سعر AMZN" فإن P(AMZN) هي احتمال انخفاض AMZN؛ وB هو: "انخفاض مؤشر DJIA بالفعل"، وP(DJIA) هي احتمال انخفاض DJIA؛ فإن تعبير الاحتمال الشرطي يُقرأ كالتالي: "احتمال انخفاض AMZN بالنظر إلى انخفاض DJIA يساوي احتمال انخفاض سعر AMZN وانخفاض DJIA مقسومًا على احتمال انخفاض مؤشر DJIA."
احتمال (AMZN|DJIA) يساوي احتمال (AMZN و DJIA) مقسومًا على احتمال (DJIA)
احتمال حدوث P(AMZN and DJIA) هو احتمال حدوث كلا A وB. وهذا يساوي أيضًا احتمال حدوث A مضروبًا في احتمال حدوث B بشرط حدوث A، ويُعبر عنه كالتالي: P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). حقيقة أن هذين التعبيرين متساويان يؤدي إلى نظرية بايز، والتي تُكتب كالتالي:
إذا: احتمال (AMZN و DJIA) = احتمال (AMZN) × احتمال (DJIA | AMZN) = احتمال (DJIA) × احتمال (AMZN | DJIA)
إذًا: احتمال (AMZN|DJIA) = احتمال (AMZN) × احتمال (DJIA|AMZN) مقسومًا على احتمال (DJIA).
P(AMZN) و P(DJIA) هما احتمالات انخفاض أمازون ومؤشر داو جونز بشكل مستقل عن بعضهما البعض.
توضح الصيغة العلاقة بين احتمال الفرضية قبل رؤية الأدلة P(AMZN) واحتمال الفرضية بعد الحصول على الأدلة P(AMZN|DJIA)، وذلك بالنظر إلى فرضية لأمازون بناءً على الأدلة في مؤشر داو جونز.
مثال رقمي على نظرية بايز
كمثال رقمي، تخيل أن هناك اختبارًا للكشف عن المخدرات بدقة 98%، مما يعني أنه في 98% من الوقت يظهر نتيجة إيجابية حقيقية لشخص يستخدم المخدر، وفي 98% من الوقت يظهر نتيجة سلبية حقيقية لغير المستخدمين للمخدر.
بعد ذلك، افترض أن 0.5% من الأشخاص يستخدمون الدواء. إذا تم اختيار شخص عشوائيًا وظهرت نتيجة إيجابية لاختبار الدواء، يمكن إجراء الحساب التالي لتحديد احتمال أن يكون الشخص فعليًا مستخدمًا للدواء حيث تكون المصطلحات:
- A = احتمال أن تكون نتيجة الاختبار الإيجابية صحيحة
- B = نسبة الأشخاص الذين يستخدمون الدواء
- A x B = احتمال أن تكون نتيجة الاختبار الإيجابية صحيحة
- (1 - A) × (1 - B) = احتمال أن تكون نتيجة الاختبار السلبية صحيحة
ستبدو الصيغة كما يلي:
(A × B) / [ (A × B) + {(1 - A) × (1 - B)} ] = احتمال تناول الدواء
باستخدام القيم، يتم حساب النتيجة كما يلي:
(0.98 × 0.005) ÷ [(0.98 × 0.005) + {(1 - 0.98) × (1 - 0.005)}] =
في هذه المعادلة، نقوم بحساب النسبة باستخدام القيم المعطاة. أولاً، نضرب 0.98 في 0.005، ثم نقسم الناتج على مجموع هذا الناتج مع حاصل ضرب (1 - 0.98) في (1 - 0.005).
0.0049 مقسوم على (0.0049 زائد 0.0199) يساوي 19.76%
يظهر مبرهنة بايز أنه حتى إذا كانت نتيجة اختبار الشخص إيجابية في هذا السيناريو، فإن هناك احتمال بنسبة 19.76% أن يكون الشخص يتعاطى المخدر، واحتمال بنسبة 80.24% أنه لا يتعاطاه.
ما هو استخدام قاعدة بايز؟
قاعدة بايز تُستخدم لتحديث الاحتمال مع متغير شرطي محدث. يستخدمها محللو الاستثمار لتوقع الاحتمالات في سوق الأسهم، لكنها تُستخدم في العديد من الصناعات الأخرى.
لماذا يعتبر مبرهنة بايز قوية جدًا؟
رياضيًا، يُظهر أن احتمالين متساويان. يُستخدم في الإحصاءات، والاستثمار، أو في صناعات أخرى، حيث يتيح لك عرض الاحتمالات الشرطية.
كيف تعرف متى تستخدم نظرية بايز؟
إذا كنت بحاجة إلى تحديد احتمال حدوث شيء ما بالنظر إلى وجود شرط آخر يمكن أن يؤثر على حدوثه، فسوف تستخدم نظرية بايز.
الخلاصة
بأبسط أشكاله، يربط مبرهنة بايز نتيجة الاختبار بالاحتمال الشرطي لتلك النتيجة بالنظر إلى أحداث أخرى ذات صلة. بالنسبة للاحتمالات العالية للإيجابيات الكاذبة، تقدم المبرهنة احتمالاً أكثر منطقية لنتيجة معينة.