ما هو الانحدار غير الخطي؟ مقارنة بالانحدار الخطي

الانحدار غير الخطي هو شكل من أشكال تحليل الانحدار حيث يتم ملاءمة البيانات لنموذج ثم التعبير عنها كدالة رياضية. الانحدار الخطي البسيط regression يربط بين متغيرين (X و Y) بخط مستقيم (y = mx + b)، بينما يربط الانحدار غير الخطي بين المتغيرين في علاقة غير خطية (منحنية).

الهدف من النموذج هو جعل مجموع المربعات صغيرًا قدر الإمكان. مجموع المربعات هو مقياس يتتبع مدى تباعد ملاحظات Y عن الدالة غير الخطية (المنحنية) التي تُستخدم لتوقع Y.

يتم حسابه أولاً من خلال إيجاد الفرق بين الدالة غير الخطية الملائمة وكل نقطة Y من البيانات في المجموعة. ثم يتم تربيع كل من هذه الفروق. وأخيرًا، يتم جمع جميع الأرقام المربعة معًا. كلما كان مجموع هذه الأرقام المربعة أصغر، كانت الدالة أكثر ملاءمة لنقاط البيانات في المجموعة. يستخدم الانحدار غير الخطي الدوال اللوغاريتمية، والدوال المثلثية، والدوال الأسية، ودوال القوة، ومنحنيات لورنز، والدوال الغاوسية، وطرق التوفيق الأخرى.

النقاط الرئيسية

• كل من الانحدار الخطي وغير الخطي يتنبأ بالاستجابات Y من متغير X (أو متغيرات).
• الانحدار غير الخطي هو دالة منحنية لمتغير X (أو متغيرات) تُستخدم للتنبؤ بمتغير Y.
• يمكن أن يُظهر الانحدار غير الخطي توقعًا لنمو السكان بمرور الوقت.

النمذجة غير الخطية تشبه النمذجة الخطية في أن كلاهما يسعى لتتبع استجابة معينة من مجموعة من المتغيرات بشكل بياني. النماذج غير الخطية أكثر تعقيدًا من النماذج الخطية في التطوير لأن الدالة تُنشأ من خلال سلسلة من التقريبات (التكرارات) التي قد تنشأ من التجربة والخطأ. يستخدم الرياضيون عدة طرق معروفة، مثل طريقة Gauss-Newton وطريقة Levenberg-Marquardt.

غالبًا ما تكون نماذج الانحدار التي تبدو غير خطية للوهلة الأولى في الواقع خطية. يمكن استخدام إجراء تقدير المنحنى لتحديد طبيعة العلاقات الوظيفية الموجودة في بياناتك، بحيث يمكنك اختيار نموذج الانحدار الصحيح، سواء كان خطيًا أو غير خطي. نماذج الانحدار الخطي، على الرغم من أنها عادة ما تشكل خطًا مستقيمًا، يمكن أن تشكل أيضًا منحنيات، اعتمادًا على شكل معادلة الانحدار الخطي. وبالمثل، من الممكن استخدام الجبر لتحويل معادلة غير خطية بحيث تحاكي معادلة خطية - وتُعرف مثل هذه المعادلة غير الخطية بأنها "خطية جوهريًا".

مثال على الانحدار غير الخطي

أحد الأمثلة على كيفية استخدام الانحدار غير الخطي هو التنبؤ بنمو السكان بمرور الوقت. يظهر مخطط الانتشار للبيانات المتغيرة للسكان بمرور الوقت أن هناك علاقة بين الوقت ونمو السكان، ولكنها علاقة غير خطية، مما يتطلب استخدام نموذج انحدار غير خطي. يمكن لنموذج النمو السكاني اللوجستي أن يوفر تقديرات للسكان للفترات التي لم يتم قياسها، وتوقعات لنمو السكان في المستقبل.

يجب أن تكون المتغيرات المستقلة والتابعة المستخدمة في الانحدار غير الخطي كمية. يجب ترميز المتغيرات الفئوية، مثل منطقة السكن أو الدين، كمتغيرات ثنائية أو أنواع أخرى من المتغيرات الكمية.

للحصول على نتائج دقيقة من نموذج الانحدار غير الخطي، يجب التأكد من أن الدالة التي تحددها تصف العلاقة بين المتغيرات المستقلة والتابعة بدقة. كما أن القيم الابتدائية الجيدة ضرورية أيضًا. قد تؤدي القيم الابتدائية السيئة إلى نموذج يفشل في التقارب، أو إلى حل يكون مثاليًا محليًا فقط، بدلاً من أن يكون مثاليًا عالميًا، حتى لو كنت قد حددت الشكل الوظيفي الصحيح للنموذج.