مجموع المربعات: الحساب، الأنواع، والأمثلة

ما هو مجموع المربعات؟

مصطلح مجموع المربعات هو مقياس إحصائي يُستخدم في تحليل الانحدار لتحديد تشتت نقاط البيانات. يمكن استخدام مجموع المربعات للعثور على الدالة التي تناسب البيانات بشكل أفضل عن طريق تقليل الانحراف عن البيانات.

في تحليل الانحدار، الهدف هو تحديد مدى ملاءمة سلسلة البيانات لوظيفة قد تساعد في تفسير كيفية توليد سلسلة البيانات. يمكن استخدام مجموع المربعات في العالم المالي لتحديد التباين في قيم الأصول.

النقاط الرئيسية

• يقيس مجموع المربعات انحراف نقاط البيانات عن القيمة المتوسطة.
• يشير مجموع المربعات الأعلى إلى تباين أكبر، بينما يشير الناتج الأقل إلى تباين منخفض عن المتوسط.
• لحساب مجموع المربعات، قم بطرح المتوسط من نقاط البيانات، ثم قم بتربيع الفروق، واجمعها معًا.
• هناك ثلاثة أنواع من مجموع المربعات: الكلي، المتبقي، والانحدار.
• يمكن للمستثمرين استخدام مجموع المربعات للمساعدة في اتخاذ قرارات أفضل بشأن استثماراتهم.

فهم مجموع المربعات

يقيس مجموع المربعات مدى انتشار مجموعة من النقاط البيانية بعيدًا عن المتوسط. يُعرف أيضًا بالتباين. يتم حسابه عن طريق جمع الفروق المربعة لكل نقطة بيانات. لتحديد مجموع المربعات، قم بتربيع المسافة بين كل نقطة بيانات وخط الاتجاه الأفضل، ثم اجمعها معًا. سيعمل خط الاتجاه الأفضل على تقليل هذه القيمة.

يشير مجموع المربعات المنخفض إلى وجود تباين قليل بين مجموعات البيانات، بينما يشير المجموع الأعلى إلى وجود تباين أكبر. يشير التباين إلى الفرق بين كل مجموعة بيانات والمتوسط. يمكنك تصور ذلك في الرسم البياني. إذا لم تمر الخطوط عبر جميع نقاط البيانات، فهذا يعني وجود بعض التباين غير المفسر. سنتناول هذا الموضوع بمزيد من التفصيل في القسم التالي أدناه.

في الإحصاء، يُستخدم مجموع المربعات لحساب التباين والانحراف المعياري لمجموعة بيانات، والتي تُستخدم بدورها في تحليل الانحدار. يمكن للمحللين والمستثمرين استخدام هذه التقنيات لاتخاذ قرارات أفضل بشأن استثماراتهم. ومع ذلك، يجب أن تضع في اعتبارك أن استخدامه يعني أنك تقوم بعمل افتراضات بناءً على الأداء السابق. على سبيل المثال، يمكن أن يساعدك هذا المقياس في تحديد مستوى التقلب في سعر سهم أو كيفية مقارنة أسعار أسهم شركتين.

لنفترض أن محللًا يريد معرفة ما إذا كانت أسعار أسهم مايكروسوفت (MSFT) تميل إلى التحرك بالتوازي مع أسعار أسهم أبل (AAPL). يمكن للمحلل سرد الأسعار اليومية لكلا السهمين لفترة معينة (لنقل سنة أو سنتين أو 10 سنوات) وإنشاء نموذج خطي أو رسم بياني. إذا لم تكن العلاقة بين المتغيرين (أي سعر AAPL وMSFT) خطًا مستقيمًا، فهذا يعني وجود تباينات في مجموعة البيانات يجب فحصها بعناية.

صيغة مجموع المربعات

الصيغة التالية تمثل مجموع المربعات الكلي.

لمجموعة X من n عناصر: مجموع المربعات = مجموع (X_i - X̄)^2 حيث: X_i = العنصر i في المجموعة X̄ = متوسط جميع العناصر في المجموعة (X_i - X̄) = الانحراف لكل عنصر عن المتوسط

لمجموعة X من n عناصر: مجموع المربعات = مجموع (X_i - X̄)^2 حيث: X_i = العنصر i في المجموعة X̄ = متوسط جميع العناصر في المجموعة (X_i - X̄) = الانحراف لكل عنصر عن المتوسط

التباين هو مقياس إحصائي يتم حسابه أو قياسه باستخدام الفروق المربعة.

كيفية حساب مجموع المربعات

يمكنك أن ترى لماذا يُطلق على هذا القياس مجموع الانحرافات المربعة، أو مجموع المربعات اختصارًا. يمكنك استخدام الخطوات التالية لحساب مجموع المربعات:

1. اجمع جميع نقاط البيانات.
2. تحديد المتوسط/المعدل
3. اطرح المتوسط/المعدل من كل نقطة بيانات فردية.
4. قم بتربيع كل مجموع من الخطوة 3.
5. اجمع الأرقام من الخطوة 4.

في الإحصاء، يُعتبر المتوسط هو المعدل لمجموعة من الأرقام، ويتم حسابه عن طريق جمع القيم في مجموعة البيانات وقسمتها على عدد القيم. ومع ذلك، قد لا يكون معرفة المتوسط كافيًا لفهم بياناتك واستخلاص الاستنتاجات. لذلك، من المفيد معرفة التباين في مجموعة من القياسات. مدى بُعد القيم الفردية عن المتوسط قد يوفر نظرة ثاقبة حول مقدار التباين الموجود ومدى توافق القيم مع خط الانحدار.

أنواع مجموع المربعات

الصيغة التي أبرزناها سابقًا تُستخدم لحساب مجموع المربعات الكلي. يُستخدم مجموع المربعات الكلي للوصول إلى أنواع أخرى. الأنواع التالية هي الأنواع الأخرى لمجموع المربعات.

مجموع المربعات المتبقية

كما هو مذكور أعلاه، إذا لم تمر الخط في النموذج الخطي الذي تم إنشاؤه عبر جميع قياسات القيمة، فإن بعض التباين الذي تم ملاحظته في أسعار الأسهم يبقى غير مفسر. يتم استخدام مجموع المربعات لحساب ما إذا كانت هناك علاقة خطية بين متغيرين، وأي تباين غير مفسر يُشار إليه بمجموع المربعات المتبقية.

يتيح لك مجموع المربعات المتبقية (RSS) تحديد مقدار الخطأ المتبقي بين دالة الانحدار ومجموعة البيانات بعد تشغيل النموذج. يمكنك تفسير قيمة RSS الأصغر على أنها دالة انحدار ملائمة بشكل جيد للبيانات، بينما العكس صحيح بالنسبة لقيمة RSS الأكبر.

إليك الصيغة لحساب مجموع المربعات المتبقية:

SSE = مجموع من i = 1 إلى n لـ (yi - y^i) تربيع حيث: yi = القيمة الملاحظة y^i = القيمة المقدرة بواسطة خط الانحدار

SSE = مجموع من i = 1 إلى n لـ (yi - y^i) تربيع

حيث:

yi = القيمة الملاحظة

y^i = القيمة المقدرة بواسطة خط الانحدار

مجموع مربعات الانحدار

يُستخدم مجموع مربعات الانحدار للإشارة إلى العلاقة بين البيانات النموذجية ونموذج الانحدار. يحدد نموذج الانحدار ما إذا كانت هناك علاقة بين متغير واحد أو عدة متغيرات. يشير انخفاض مجموع مربعات الانحدار إلى ملاءمة أفضل مع البيانات. ومع ذلك، فإن ارتفاع مجموع مربعات الانحدار يعني أن النموذج والبيانات ليسا متوافقين بشكل جيد.

إليك الصيغة لحساب مجموع مربعات الانحدار: SSR = ∑ من i = 1 إلى n (y^i − yˉ)² حيث: y^i = القيمة المقدرة بواسطة خط الانحدار yˉ = القيمة المتوسطة لعينة

SSR = ∑ من i = 1 إلى n (القيمة المقدرة بواسطة خط الانحدار - القيمة المتوسطة لعينة)²

حيث: القيمة المقدرة بواسطة خط الانحدار = y^i القيمة المتوسطة لعينة = yˉ

قيود استخدام مجموع المربعات

اتخاذ قرار الاستثمار بشأن الأسهم التي يجب شراؤها يتطلب العديد من الملاحظات أكثر من تلك المذكورة هنا. قد يحتاج المحلل إلى العمل مع سنوات من البيانات ليعرف بدرجة أعلى من اليقين مدى ارتفاع أو انخفاض تقلبات الأصل. كلما تمت إضافة المزيد من نقاط البيانات إلى المجموعة، يصبح مجموع المربعات أكبر حيث ستكون القيم أكثر انتشارًا.

أكثر المقاييس استخدامًا لقياس التباين هي الانحراف المعياري والتباين. ومع ذلك، لحساب أي من هذين المقياسين، يجب أولاً حساب مجموع المربعات. التباين هو متوسط مجموع المربعات (أي مجموع المربعات مقسومًا على عدد الملاحظات). الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

هناك طريقتان لتحليل الانحدار تستخدمان مجموع المربعات:

• طريقة المربعات الصغرى غير الخطية

تشير طريقة المربعات الصغرى إلى أن دالة الانحدار تقلل من مجموع مربعات التباين من النقاط الفعلية للبيانات. بهذه الطريقة، يمكن رسم دالة توفر إحصائيًا أفضل تطابق للبيانات. لاحظ أن دالة الانحدار يمكن أن تكون إما خطية (خط مستقيم) أو غير خطية (خط منحني).

مثال على مجموع المربعات

لنستخدم شركة Microsoft كمثال لنوضح كيف يمكنك الوصول إلى مجموع المربعات.

باستخدام الخطوات المذكورة أعلاه، نقوم بجمع البيانات. لذلك، إذا كنا ننظر إلى أداء الشركة على مدى فترة خمس سنوات، سنحتاج إلى أسعار الإغلاق لتلك الفترة الزمنية:

• ٧٤.٠١ دولارًا
• ٧٤.٧٧ دولارًا
• ٧٣٫٩٤ دولارًا
• ٧٣.٦١ دولارًا
• ٧٣.٤٠ دولارًا

الآن دعونا نحسب السعر المتوسط. مجموع الأسعار الكلية هو 369.73 دولار، والمتوسط أو السعر المتوسط هو 369.73 دولار مقسومًا على 5، والذي يساوي 73.95 دولار.

ثم، لحساب مجموع المربعات، نقوم بإيجاد الفرق بين كل سعر والمتوسط، ثم نربع الفروق ونجمعها معًا:

• SS = (74.01 - 73.95) تربيع + (74.77 - 73.95) تربيع + (73.94 - 73.95) تربيع + (73.61 - 73.95) تربيع + (73.40 - 73.95) تربيع
• SS = (0.06) تربيع + (0.82) تربيع + (-0.01) تربيع + (-0.34) تربيع + (-0.55) تربيع
• SS = ١٫٠٩٤٢

في المثال أعلاه، يُظهر الرقم 1.0942 أن التغير في سعر سهم شركة MSFT على مدى خمسة أيام منخفض جدًا، وقد يختار المستثمرون الذين يبحثون عن الاستثمار في الأسهم التي تتميز باستقرار السعر وانخفاض التقلبات الاستثمار في شركة Microsoft.

كيف تُعرّف مجموع المربعات؟

مجموع المربعات هو شكل من أشكال تحليل الانحدار لتحديد التباين بين نقاط البيانات والمتوسط. إذا كان مجموع المربعات منخفضًا، فهذا يعني أن هناك تباينًا منخفضًا. بينما يشير مجموع المربعات الأعلى إلى تباين أعلى. يمكن استخدام هذا لمساعدة في اتخاذ قرارات أكثر استنارة من خلال تحديد تقلبات الاستثمار أو لمقارنة مجموعات من الاستثمارات مع بعضها البعض.

كيف تحسب مجموع المربعات؟

لحساب مجموع المربعات، اجمع جميع نقاط البيانات الخاصة بك. ثم حدد المتوسط أو المعدل عن طريق جمعها جميعًا وقسمتها على العدد الإجمالي لنقاط البيانات. بعد ذلك، احسب الفروق بين كل نقطة بيانات والمتوسط. ثم قم بتربيع تلك الفروق واجمعها معًا لتحصل على مجموع المربعات.

كيف تساعد مجموع المربعات في التمويل؟

يمكن للمستثمرين والمحللين استخدام مجموع المربعات لإجراء مقارنات بين الاستثمارات المختلفة أو اتخاذ قرارات حول كيفية الاستثمار. على سبيل المثال، يمكنك استخدام مجموع المربعات لتحديد تقلبات الأسهم. يشير المجموع المنخفض عادةً إلى تقلب منخفض، بينما يتم اشتقاق التقلب العالي من مجموع مربعات أعلى.

الخلاصة

كمستثمر، ترغب في اتخاذ قرارات مستنيرة حول المكان الذي تضع فيه أموالك. بينما يمكنك بالتأكيد الاعتماد على حدسك، هناك أدوات تحت تصرفك يمكن أن تساعدك. يأخذ مجموع المربعات البيانات التاريخية ليعطيك مؤشرًا على التقلب الضمني. استخدمه لترى ما إذا كان السهم مناسبًا لك أو لتحديد استثمار إذا كنت مترددًا بين أصلين مختلفين. لكن تذكر أن مجموع المربعات يستخدم الأداء السابق كمؤشر ولا يضمن الأداء المستقبلي.

تصحيح—18 مايو 2023: النسخة السابقة من هذه المقالة أخطأت في القول بأن مجموع المربعات يُحسب بطرح النقاط البيانية من المتوسط. تم تصحيحها لتوضيح أن المتوسط يجب أن يُطرح من النقاط البيانية.