حساب الحدود الثلاثة سيجما مع مثال إحصائي

ما هو حد الثلاثة سيجما؟

حد الثلاثة سيجما هو حساب إحصائي تكون فيه البيانات ضمن ثلاثة انحرافات معيارية من المتوسط. يشير الثلاثة سيجما إلى العمليات في التطبيقات التجارية التي تعمل بكفاءة وتنتج عناصر بأعلى جودة.

تُستخدم حدود الثلاثة سيجما لتحديد الحدود العليا والسفلى في مخططات التحكم الإحصائي للجودة. تُنشئ مخططات التحكم حدودًا لعملية التصنيع أو الأعمال التجارية التي تكون في حالة تحكم إحصائي.

النقاط الرئيسية:

• حدود الثلاثة سيجما (3-sigma limits) هي حساب إحصائي يشير إلى البيانات التي تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية من المتوسط.
• تُستخدم حدود الثلاثة سيجما لتحديد الحدود العليا والدنيا للتحكم في مخططات مراقبة الجودة الإحصائية.
• البيانات التي تقع فوق المتوسط وتتجاوز خط الثلاثة سيجما على منحنى الجرس تمثل أقل من 1% من جميع نقاط البيانات.
• سيجما هي قياس إحصائي للتباين يوضح مقدار التفاوت الموجود عن المتوسط الإحصائي.

فهم حدود الثلاثة سيجما

تُعرف مخططات التحكم أيضًا بمخططات شيوارت، نسبةً إلى والتر أ. شيوارت، الفيزيائي والمهندس والإحصائي الأمريكي (1891-1967). تستند مخططات التحكم إلى النظرية التي تفيد بأن هناك قدرًا معينًا من التباين في قياسات المخرجات يكون متأصلًا حتى في العمليات المصممة بشكل مثالي.

تحدد مخططات التحكم ما إذا كان هناك تباين محكوم أو غير محكوم في عملية ما. يُقال إن التباينات في جودة العملية الناتجة عن أسباب عشوائية تكون تحت السيطرة. العمليات الخارجة عن السيطرة تشمل كل من الأسباب العشوائية والخاصة للتباين. تهدف مخططات التحكم إلى تحديد وجود الأسباب الخاصة.

يستخدم الإحصائيون والمحللون مقياسًا يُعرف بالانحراف المعياري لقياس التغيرات، ويُشار إليه أيضًا باسم سيجما. إنه قياس إحصائي للتباين يُظهر مقدار التغير الموجود عن المتوسط الإحصائي.

يقيس سيجما مدى انحراف البيانات الملاحظة عن المتوسط أو المعدل. يستخدم المستثمرون الانحراف المعياري لقياس التقلب المتوقع.

ضع في اعتبارك منحنى الجرس العادي الذي يحتوي على توزيع طبيعي. كلما كان النقطة البيانية أبعد إلى اليمين أو اليسار، كان ذلك يعني أن البيانات أعلى أو أقل من المتوسط. تشير القيم المنخفضة إلى أن النقاط البيانية تقع بالقرب من المتوسط. بينما تشير القيم العالية إلى أن البيانات منتشرة وليست قريبة من المتوسط.

مثال على الحساب

لننظر في شركة تصنيع تجري سلسلة من 10 اختبارات لتحديد ما إذا كان هناك تباين في جودة منتجاتها. نقاط البيانات للاختبارات العشرة هي 8.4، 8.5، 9.1، 9.3، 9.4، 9.5، 9.7، 9.7، 9.9، و9.9.

1. أولاً، احسب المتوسط للبيانات الملاحظة: (8.4 + 8.5 + 9.1 + 9.3 + 9.4 + 9.5 + 9.7 + 9.7 + 9.9 + 9.9) / 10، والذي يساوي 93.4 / 10 = 9.34.
2. ثانيًا، احسب التباين للمجموعة: التباين هو مدى انتشار النقاط البيانية ويتم حسابه كمجموع مربعات الفروق بين كل نقطة بيانات والمتوسط مقسومًا على عدد الملاحظات. سيتم حساب مربع الفرق الأول كالتالي (8.4 - 9.34) تربيع = 0.8836، ومربع الفرق الثاني سيكون (8.5 - 9.34) تربيع = 0.7056، ويمكن حساب المربع الثالث كالتالي (9.1 - 9.34) تربيع = 0.0576، وهكذا. مجموع مربعات الفروق لجميع النقاط العشر هو 2.564. وبالتالي، فإن التباين هو 2.564 / 10 = 0.2564.
3. ثالثًا، احسب الانحراف المعياري: وهو ببساطة الجذر التربيعي للتباين. الانحراف المعياري = الجذر التربيعي لـ 0.2564 = 0.5064.
4. رابعًا، احسب ثلاثة سيجما: هذا يعني ثلاث انحرافات معيارية فوق المتوسط. يتم حسابه كالتالي: (3 × 0.5064) + 9.34 = 10.9 في الصيغة العددية. لا يوجد أي من البيانات عند هذه النقطة العالية، لذا فإن عملية اختبار التصنيع لم تصل بعد إلى مستويات جودة ثلاثة سيجما.

كيف تُستخدم حدود الثلاثة سيجما؟

تحدد حدود الثلاثة سيجما نطاقًا لمعامل العملية عند حدود التحكم بنسبة 0.27%. تُستخدم حدود التحكم الثلاثة سيجما لفحص البيانات من عملية معينة وتحديد ما إذا كانت ضمن السيطرة الإحصائية من خلال التحقق مما إذا كانت نقاط البيانات تقع ضمن ثلاث انحرافات معيارية عن المتوسط. يتم تحديد الحد الأعلى للتحكم (UCL) عند ثلاثة مستويات سيجما فوق المتوسط، ويتم تحديد الحد الأدنى للتحكم (LCL) عند ثلاثة مستويات سيجما تحت المتوسط.

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري هو قياس إحصائي. يقوم بحساب تشتت مجموعة من القيم مقارنة بمتوسطها. وهو الجذر التربيعي الموجب للتباين ويحدد الفرق بين التباين والمتوسط.

ما هي منحنى الجرس؟

يحصل منحنى الجرس على اسمه من مظهره: منحنى على شكل جرس يرتفع في المنتصف. يوضح الاحتمال الطبيعي وتستخدمه العديد من الرسوم البيانية والتوزيعات. يقيس الخط الواحد البيانات على انحرافات معيارية واحدة، واثنتين، وثلاثة.

الخلاصة

يشير مصطلح "ثلاثة سيجما" إلى ثلاثة انحرافات معيارية. وضع شيوارت حدود الانحراف المعياري الثلاثة (3-سيجما) كدليل عقلاني واقتصادي للحد الأدنى من الخسارة الاقتصادية.

حوالي 99.73% من عملية محكومة ستحدث ضمن زائد أو ناقص ثلاث سيغما، لذا ينبغي أن تقارب البيانات من عملية ما توزيعًا عامًا حول المتوسط وضمن الحدود المحددة مسبقًا. البيانات التي تقع فوق المتوسط وتتجاوز خط الثلاث سيغما على منحنى الجرس تمثل أقل من 1% من جميع نقاط البيانات.