ما هو التباين في الإحصاء؟ التعريف، الصيغة، والمثال

تعريف

التباين هو قياس لمدى بُعد كل رقم في مجموعة البيانات عن المتوسط (المعدل)، وبالتالي عن كل رقم آخر في المجموعة.

ما هو التباين؟

التباين هو قياس إحصائي لمدى انتشار الأرقام في مجموعة بيانات. يقيس مدى بُعد كل رقم في المجموعة عن المتوسط (المعدل)، وبالتالي عن كل رقم آخر في المجموعة. غالبًا ما يُرمز للتباين بهذا الرمز: σ². يُستخدم التباين من قبل المحللين والمتداولين لتحديد التقلب واستقرار السوق.

الجذر التربيعي للتباين هو الانحراف المعياري (SD أو σ)، والذي يساعد في تحديد مدى اتساق عوائد الاستثمار على مر الزمن.

النقاط الرئيسية

• التباين هو قياس لتشتت الأرقام في مجموعة بيانات.
• على وجه الخصوص، يقيس درجة تشتت البيانات حول متوسط العينة.
• يستخدم المستثمرون التباين لمعرفة مقدار المخاطرة التي يحملها الاستثمار وما إذا كان سيكون مربحًا.
• يُستخدم التباين أيضًا في المالية لمقارنة الأداء النسبي لكل أصل في محفظة لتحقيق أفضل تخصيص للأصول.
• الجذر التربيعي للتباين هو الانحراف المعياري.

فهم التباين

في الإحصاء، يقيس التباين التغير عن المتوسط أو المعدل. يتم حسابه عن طريق أخذ الفروق بين كل رقم في مجموعة البيانات والمتوسط، وتربيع الفروق لجعلها موجبة، ثم قسمة مجموع المربعات على عدد القيم في مجموعة البيانات. يمكن لبرامج مثل Excel أن تجعل هذا الحساب أسهل.

يتم حساب التباين باستخدام الصيغة التالية:

σ² = (مجموع (xᵢ - x̄)² من i = 1 إلى n) ÷ N

حيث:

xᵢ = كل قيمة في مجموعة البيانات

x̄ = متوسط جميع القيم في مجموعة البيانات

N = عدد القيم في مجموعة البيانات

مزايا وعيوب استخدام التباين

مثل أي طريقة لتحليل البيانات، هناك تباين وفوائد وقيود.

الإيجابيات

• البساطة: التباين هو قياس بسيط يمكن للإحصائيين استخدامه لفهم كيفية ارتباط الأرقام الفردية ببعضها البعض داخل مجموعة بيانات، بدلاً من استخدام تقنيات رياضية أوسع مثل ترتيب الأرقام في أرباع.
• يعامل جميع الانحرافات بنفس الطريقة: ميزة التباين هي أنه يعامل جميع الانحرافات عن المتوسط بنفس الطريقة بغض النظر عن اتجاهها. هذا يسمح للمحللين والمستثمرين برؤية النطاق الكامل للمخاطر والتقلبات في مجموعة البيانات، بدلاً من التركيز فقط على الانحرافات الإيجابية أو السلبية.
• يتجنب ظهور عدم التباين: لا يمكن أن يكون مجموع الانحرافات المربعة صفرًا مما يعطي انطباعًا بعدم وجود تباين على الإطلاق في البيانات. يمكن أن يساعد ذلك في تجنب بعض التفسيرات الخاطئة للبيانات.

سلبيات

الإيجابيات

• البساطة

• يعامل جميع الانحرافات بنفس الطريقة

• يتجنب ظهور عدم وجود تباين

سلبيات

• تم إضافة وزن أكبر للقيم الشاذة.

• لا يُستخدم غالبًا بمفرده

في بعض الحالات، قد يتم التعبير عن المخاطر أو التقلبات على شكل الانحراف المعياري بدلاً من التباين، لأن الانحراف المعياري غالباً ما يكون أسهل في التفسير.

مثال على التباين في المالية

إذا كانت العوائد على الأسهم في شركة ABC هي 10% في السنة الأولى، و20% في السنة الثانية، و−15% في السنة الثالثة، فإن متوسط هذه العوائد الثلاثة هو:

(10% + 20% + -15%) / 3 = 5%
(10% + 20% - 15%) مقسومًا على 3 يساوي 5%

الاختلافات بين كل عائد ومتوسط العوائد هي:

١٠٪ - ٥٪ = ٥٪

20% - 5% = 15%

سالب 15% ناقص 5% يساوي سالب 20%

تربيع هذه الانحرافات ينتج عنه 0.25% للسنة الأولى، و2.25% للسنة الثانية، و4.00% للسنة الثالثة.

لإيجاد التباين، قم بجمع هذه الانحرافات المربعة، ثم قسّم الناتج على عدد النقاط في مجموعة البيانات ناقص واحد:

التباين = 0.25% + 2.25% + 4.00% = 6.5% / (3-1) = 3.25% = 0.0325

إذا كنت ترغب في إيجاد الانحراف المعياري لنفس مجموعة البيانات، فسوف تأخذ الجذر التربيعي للتباين:

الانحراف المعياري = الجذر التربيعي لـ 0.0325 = 0.180 = 18%

ما هي الخطوات لحساب التباين؟

اتبع هذه الخطوات لحساب التباين:

1. احسب المتوسط للبيانات.
2. احسب الفرق بين كل نقطة بيانات والقيمة المتوسطة.
3. قم بتربيع كل من هذه القيم.
4. اجمع جميع القيم المربعة.
5. قسّم مجموع المربعات هذا على n - 1 (للعينة) أو N (لإجمالي السكان).

ما هو استخدام التباين؟

يقيس التباين درجة الانتشار في مجموعة بيانات من متوسطها. يُظهر مقدار التفاوت الموجود بين نقاط البيانات. بصريًا، كلما كان التباين أكبر، كانت "أعرض" توزيع الاحتمالات. في مجال المالية، إذا كان هناك شيء مثل الاستثمار لديه تباين أكبر، فقد يُفسر على أنه أكثر خطورة أو تقلبًا.

لماذا يُستخدم الانحراف المعياري أكثر من التباين في كثير من الأحيان؟

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين. في بعض الأحيان يكون أكثر فائدة لأن أخذ الجذر التربيعي يزيل الوحدات من التحليل. هذا يسمح بإجراء مقارنات مباشرة بين أشياء مختلفة قد تكون لها وحدات أو مقاييس مختلفة. على سبيل المثال، القول بأن زيادة X بوحدة واحدة تزيد Y بمقدارين من الانحراف المعياري يسمح لك بفهم العلاقة بين X وY بغض النظر عن الوحدات التي يتم التعبير عنها بها.

الخلاصة

يقيس التباين مدى التغير أو مدى ابتعاد الأرقام في مجموعة بيانات عن المتوسط. يُستخدم التباين من قبل العديد من المهنيين بما في ذلك محللي البيانات، والرياضيين، والعلماء، والإحصائيين، والمستثمرين. يستخدم الإحصائيون والمستثمرون التباين لتحديد ما إذا كان ينبغي شراء أو بيع أو الاحتفاظ بالأوراق المالية. على سبيل المثال، إذا كان الاستثمار يتمتع بتباين أكبر، فقد يُعتبر أكثر تقلبًا ومخاطرة.