صيغة الانحراف المعياري واستخداماته مقابل التباين

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري هو قياس إحصائي ينظر إلى مدى تشتت النقاط الفردية في مجموعة بيانات عن المتوسط لتلك المجموعة. إذا كانت نقاط البيانات أبعد عن المتوسط، فإن هناك انحرافًا أكبر داخل مجموعة البيانات. يتم حسابه على أنه الجذر التربيعي لـ التباين.

النقاط الرئيسية:

• الانحراف المعياري يقيس تشتت مجموعة البيانات بالنسبة إلى متوسطها.
• يتم حسابه على أنه الجذر التربيعي للتباين.
• الانحراف المعياري، في المالية، يُستخدم غالبًا كمقياس لمدى خطورة الأصل النسبي.
• السهم المتقلب لديه انحراف معياري مرتفع، بينما يكون الانحراف لسهم الشركات الكبرى المستقرة عادة منخفضًا.
• يُستخدم الانحراف المعياري أيضًا من قبل الشركات لتقييم المخاطر، وإدارة العمليات التجارية، وتخطيط التدفقات النقدية بناءً على التغيرات الموسمية والتقلبات.

الانحراف المعياري

كيف يعمل الانحراف المعياري

الانحراف المعياري هو قياس إحصائي يُستخدم غالبًا في المالية، خاصة في الاستثمار. عند تطبيقه على معدل العائد السنوي للاستثمار، يمكن أن يوفر معلومات حول التقلب التاريخي لذلك الاستثمار. وهذا يعني أنه يظهر مدى تذبذب سعر ذلك الاستثمار على مر الزمن.

كلما زاد الانحراف المعياري للأوراق المالية، زاد التباين بين كل سعر والمتوسط، مما يظهر نطاق أسعار أكبر. على سبيل المثال، السهم المتقلب لديه انحراف معياري مرتفع، مما يعني أن سعره يرتفع وينخفض بشكل متكرر. من ناحية أخرى، فإن الانحراف المعياري لسهم مستقر من نوع blue-chip عادة ما يكون منخفضًا، مما يعني أن سعره عادة ما يكون مستقرًا.

يمكن أيضًا استخدام الانحراف المعياري للتنبؤ باتجاهات الأداء. في مجال الاستثمار، على سبيل المثال، يتم تصميم صندوق المؤشر ليحاكي مؤشرًا مرجعيًا. هذا يعني أن الصندوق سيكون لديه انحراف معياري منخفض عن قيمة المؤشر المرجعي.

من ناحية أخرى، غالبًا ما تتمتع صناديق النمو العدوانية بمعدل انحراف معياري مرتفع مقارنة بالمؤشرات النسبية للأسهم. يعود ذلك إلى أن مديري المحافظ يقومون بمراهنات جريئة لتحقيق عوائد أعلى من المتوسط. يرتبط هذا الانحراف المعياري الأعلى بمستوى المخاطرة الذي يمكن للمستثمرين توقعه من ذلك المؤشر.

الانحراف المعياري هو أحد المقاييس الأساسية الرئيسية للمخاطر التي يستخدمها المحللون ومديرو المحافظ والمستشارون. تقوم شركات الاستثمار بالإبلاغ عن الانحراف المعياري لصناديقها المشتركة ومنتجاتها الأخرى. يُظهر التشتت الكبير مدى انحراف العائد على الصندوق عن العوائد الطبيعية المتوقعة. نظرًا لأنه سهل الفهم، يتم الإبلاغ عن هذه الإحصائية بانتظام للعملاء النهائيين والمستثمرين.

الانحراف المعياري يحسب كل عدم اليقين كخطر، حتى عندما يكون في صالح المستثمر - مثل العوائد التي تفوق المتوسط.

صيغة الانحراف المعياري

يتم حساب الانحراف المعياري عن طريق أخذ الجذر التربيعي لقيمة مشتقة من مقارنة نقاط البيانات بمتوسط جماعي لمجموعة سكانية. الصيغة هي:

الانحراف المعياري = مجموع (القيمة i - المتوسط) تربيع مقسوم على (عدد النقاط - 1) حيث: القيمة i = قيمة النقطة i في مجموعة البيانات المتوسط = القيمة المتوسطة لمجموعة البيانات عدد النقاط = عدد النقاط في مجموعة البيانات

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي لمجموع (القيمة i - المتوسط) تربيع مقسوم على (عدد النقاط - 1).

حيث:

القيمة i = قيمة النقطة i في مجموعة البيانات

المتوسط = القيمة المتوسطة لمجموعة البيانات

عدد النقاط = عدد النقاط في مجموعة البيانات

حساب الانحراف المعياري

يتم حساب الانحراف المعياري كما يلي:

1. احسب المتوسط لجميع نقاط البيانات. يتم حساب المتوسط عن طريق جمع جميع نقاط البيانات وقسمتها على عدد نقاط البيانات.
2. احسب التباين لكل نقطة بيانات. يتم حساب التباين لكل نقطة بيانات عن طريق طرح المتوسط من قيمة نقطة البيانات.
3. قم بتربيع التباين لكل نقطة بيانات (من الخطوة 2).
4. مجموع قيم التباين المربعة (من الخطوة 3).
5. قسّم مجموع قيم التباين المربعة (من الخطوة 4) على عدد نقاط البيانات في مجموعة البيانات ناقص 1.
6. خذ الجذر التربيعي للناتج (من الخطوة 5).

الخصائص الرئيسية للانحراف المعياري

إحدى الخصائص الرئيسية للانحراف المعياري هي الإضافية. وهذا يعني أن الانحراف المعياري لمجموع المتغيرات العشوائية. وهذا يعني أن المحللين أو الباحثين الذين يستخدمون الانحراف المعياري يقارنون بين العديد من نقاط البيانات، بدلاً من استخلاص الاستنتاجات بناءً على تحليل نقاط بيانات فردية فقط، مما يؤدي إلى درجة أعلى من الدقة.

خاصية أخرى للانحراف المعياري هي عدم التأثر بتغير المقياس. هذه الخاصية مفيدة بشكل خاص عند مقارنة تباين مجموعات البيانات التي تستخدم وحدات قياس مختلفة. على سبيل المثال، إذا كانت إحدى مجموعات البيانات مقاسة بالبوصات وأخرى بالسنتيمترات، يمكن مقارنة الانحرافات المعيارية مباشرة دون الحاجة إلى تحويل الوحدات.

أخيرًا، يتميز الانحراف المعياري بخصائص التماثل وعدم السلبية. هذا يعني أن الانحراف المعياري يكون دائمًا موجبًا وموزعًا بشكل متماثل حول المتوسط. تشير خاصية التماثل هذه إلى أن الانحرافات فوق المتوسط يتم موازنتها بالانحرافات تحت المتوسط، مما يؤدي إلى توازن كامل لمجموعة البيانات بأكملها. تعني خاصية كونه دائمًا موجبًا أن الانحراف المعياري يتمتع بدرجة أعلى من القابلية للمقارنة عند النظر إلى الانحرافات المعيارية عبر مجموعات البيانات.

الانحراف المعياري مقابل التباين

التباين والانحراف المعياري هما إحصائيات مترابطة. يتم اشتقاق التباين عن طريق أخذ متوسط النقاط البيانية، ثم طرح المتوسط من كل نقطة بيانات بشكل فردي، وتربيع كل من هذه النتائج، ثم أخذ متوسط آخر لهذه المربعات. الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

يساعد التباين في تحديد حجم انتشار البيانات عند مقارنتها بقيمة المتوسط. كلما زاد التباين، زادت التغيرات في قيم البيانات، وقد يكون هناك فجوة أكبر بين قيمة بيانات وأخرى. إذا كانت قيم البيانات متقاربة، سيكون التباين أصغر. ومع ذلك، فإن فهم التباين يكون أكثر صعوبة من الانحراف المعياري لأن التباين يمثل نتيجة مربعة قد لا يتم التعبير عنها بشكل مفيد على نفس الرسم البياني مع مجموعة البيانات الأصلية.

عادةً ما يكون من الأسهل تصور وتطبيق الانحرافات المعيارية. يتم التعبير عن الانحراف المعياري بنفس وحدة القياس المستخدمة في البيانات، وهو ما قد لا يكون الحال دائمًا مع التباين. باستخدام الانحراف المعياري، يمكن للإحصائيين تحديد ما إذا كانت البيانات تتبع منحنى طبيعي أو علاقة رياضية أخرى.

إذا كانت البيانات تتبع منحنى طبيعي، فإن 68% من نقاط البيانات ستقع ضمن انحراف معياري واحد من النقطة المتوسطة أو المعدل. تؤدي التباينات الأكبر إلى وقوع المزيد من نقاط البيانات خارج الانحراف المعياري. بينما تؤدي التباينات الأصغر إلى أن تكون المزيد من البيانات قريبة من المعدل.

يتم تصوير الانحراف المعياري بشكل بياني على أنه عرض منحنى الجرس حول متوسط مجموعة البيانات. كلما كان المنحنى أوسع، كان الانحراف المعياري لمجموعة البيانات عن المتوسط أكبر.

كيف يُستخدم الانحراف المعياري في الأعمال التجارية

الانحراف المعياري لا يُستخدم فقط في الاستثمار. يمكن لمحللي الأعمال أو الشركات استخدام الانحراف المعياري بطرق متنوعة لتقييم المخاطر، وإجراء التنبؤات، وإدارة عمليات الشركة.

إدارة المخاطر

يُستخدم الانحراف المعياري بشكل واسع في الأعمال لإدارة المخاطر. يساعد الانحراف المعياري الشركات في قياس وإدارة أنواع مختلفة من المخاطر. من خلال حساب الانحراف المعياري لنتائج معينة، يمكن للشركات تقييم التقلب أو عدم اليقين المرتبط بكيفية عملها. على سبيل المثال، يمكن للشركة استخدام الانحراف المعياري لقياس مخاطر إعادة المنتجات المختلفة.

التحليل المالي

في المالية والمحاسبة، يُستخدم الانحراف المعياري لتحليل البيانات المالية وتقييم تباين مقاييس الأداء المالي. على سبيل المثال، يُستخدم الانحراف المعياري لقياس تقلب عوائد الاستثمار. يمكن استخدام ذلك لتحديد المفاضلات بين المخاطر والعوائد واستراتيجية كيفية نشر الشركة لرأس المال.

التنبؤات

يُستخدم الانحراف المعياري في التنبؤ بالمبيعات لتقييم تباين بيانات المبيعات وتوقع اتجاهات المبيعات المستقبلية. يساعد الانحراف المعياري الشركات في تحديد الموسمية والاتجاهات والأنماط في بيانات المبيعات، مما يمكنها من التخطيط لاحتياجات السيولة في المستقبل القريب.

ضبط الجودة

في إدارة التصنيع والعمليات، يُستخدم الانحراف المعياري لمراقبة وتحسين جودة المنتج. كما يُستخدم الانحراف المعياري في عمليات التحكم في الجودة مثل منهجيات Six Sigma لقياس قدرة العمليات، وتقليل العيوب، وتحسين عمليات التصنيع لتحقيق جودة أفضل ورضا العملاء.

إدارة المشاريع

يُستخدم الانحراف المعياري في إدارة المشاريع لتقييم أداء المشروع وإدارة المخاطر. على سبيل المثال، يمكن استخدام الانحراف المعياري فيما يتعلق بتحليل المسار الحرج والقيمة المكتسبة. يمكن استخدامه لقياس التباينات، وتتبع التقدم، وقياس المخاطر المتعلقة بعدم تحقيق المسار الحرج أو القيمة المكتسبة.

### نقاط القوة والقيود للانحراف المعياري

مثل أي قياس إحصائي لتحليل البيانات، فإن الانحراف المعياري له نقاط قوة وحدود يجب أخذها في الاعتبار قبل استخدامه.

نقاط القوة

• يُستخدم بشكل شائع

• يتضمن جميع نقاط البيانات

• يمكن دمج مجموعات البيانات

• استخدامات حسابية إضافية

قيود

• لا يقيس التشتت

• تأثير القيم الشاذة

• صعب الحساب يدويًا

نقاط القوة

• يشمل جميع نقاط البيانات: الانحراف المعياري يشمل جميع الملاحظات. يتم تضمين كل نقطة بيانات في التحليل. قياسات الانحراف الأخرى مثل المدى تقيس فقط النقاط الأكثر تشتتًا دون النظر إلى النقاط الموجودة بينهما. لذلك، يُعتبر الانحراف المعياري غالبًا قياسًا أكثر قوة ودقة مقارنة بالملاحظات الأخرى.
• يمكن دمج مجموعات البيانات: يمكن دمج الانحراف المعياري لمجموعتي بيانات باستخدام صيغة محددة للانحراف المعياري المدمج. لا توجد صيغ مشابهة لقياسات تشتت الملاحظات الأخرى في الإحصاء.
• الاستخدامات الحسابية الإضافية: على عكس وسائل الملاحظة الأخرى، يمكن استخدام الانحراف المعياري في الحسابات الجبرية الإضافية، مما يعني أن هناك بعض المرونة في استخدام الانحراف المعياري.

قيود

• لا يقيس التشتت: الانحراف المعياري لا يقيس فعليًا مدى بُعد نقطة البيانات عن المتوسط. بدلاً من ذلك، يقارن مربع الفروق، وهو فرق دقيق ولكنه ملحوظ عن التشتت الفعلي عن المتوسط.
• تأثير القيم الشاذة: القيم الشاذة لها تأثير أكبر على الانحراف المعياري. هذا صحيح بشكل خاص نظرًا لأن الفرق عن المتوسط يتم تربيعه، مما ينتج عنه كمية أكبر مقارنة بالنقاط الأخرى في البيانات. لذلك، يجب أن تكون واعيًا بأن الملاحظة القياسية تعطي بطبيعتها وزنًا أكبر للقيم المتطرفة.

أمثلة على الانحراف المعياري

إذا كان لديك نقاط البيانات 5، 7، 3، و7 وتريد حساب الانحراف المعياري، ابدأ بجمعها معًا:

خمسة زائد سبعة زائد ثلاثة زائد سبعة يساوي اثنين وعشرين

احسب المتوسط لمجموعة البيانات عن طريق قسمة المجموع الكلي على عدد النقاط في البيانات (في هذه الحالة، 4).

22 مقسومًا على 4 يساوي 5.5

هذا يعطيك x̄ = 5.5 و N = 4.

لإيجاد التباين، قم بطرح القيمة المتوسطة من كل نقطة بيانات، ثم قم بتربيع كل من تلك القيم:

٥ - ٥.٥ = -٠.٥ ثم -٠.٥ × -٠.٥ = ٠.٢٥

٧ - ٥.٥ = ١.٥ × ١.٥ = ٢.٢٥

٣ - ٥.٥ = -٢.٥ و -٢.٥ × -٢.٥ = ٦.٢٥

٧ - ٥.٥ = ١.٥ × ١.٥ = ٢.٢٥

اجمع القيم المربعة، ثم قسّم النتيجة على N-1 للحصول على التباين.

(0.25 + 2.25 + 6.25 + 2.25) ÷ (4 - 1) = 3.67

خذ الجذر التربيعي لـ 3.67 للعثور على الانحراف المعياري، والذي يساوي تقريبًا 1.915.

أو فكر في أسهم شركة Apple (AAPL) على مدى خمس سنوات. كانت العوائد التاريخية لأسهم Apple هي 88.97% لعام 2019، و82.31% لعام 2020، و34.65% لعام 2021، و-26.41% لعام 2022، و28.32% في أبريل 2023. وبالتالي كان متوسط العائد على مدى السنوات الخمس 41.57%.

قيمة عائد كل سنة مطروحًا منها المتوسط كانت 47.40%، 40.74%، -6.92%، -67.98%، و-15.57%، على التوالي. ثم يتم تربيع كل تلك القيم للحصول على 22.47%، 16.60%، 0.48%، 46.21%، و2.42%. مجموع هذه القيم هو 0.882. قسّم هذا المجموع على 4 (N ناقص 1) للحصول على التباين (0.882/4) = 0.220.

يتم أخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري الذي يبلغ 0.4690، أو 46.90%.

ماذا يعني الانحراف المعياري العالي؟

يشير الانحراف المعياري الكبير إلى وجود تباين كبير في البيانات الملاحظة حول المتوسط. وهذا يدل على أن البيانات الملاحظة منتشرة بشكل كبير. بينما يشير الانحراف المعياري الصغير أو المنخفض إلى أن معظم البيانات الملاحظة متجمعة بشكل محكم حول المتوسط.

ماذا يخبرك الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري يصف مدى تشتت مجموعة من البيانات. يقارن كل نقطة بيانات بمتوسط جميع نقاط البيانات، ويعيد الانحراف المعياري قيمة محسوبة تصف ما إذا كانت نقاط البيانات قريبة من بعضها البعض أو ما إذا كانت متباعدة. في التوزيع الطبيعي، يخبرك الانحراف المعياري بمدى بعد القيم عن المتوسط.

كيف يمكنك حساب الانحراف المعياري بسرعة؟

إذا نظرت إلى توزيع بعض البيانات المرصودة بصريًا، يمكنك أن ترى ما إذا كان الشكل نحيفًا نسبيًا أم ممتلئًا. التوزيعات الممتلئة لديها انحرافات معيارية أكبر. بدلاً من ذلك، يحتوي Excel على دوال انحراف معياري مدمجة تعتمد على مجموعة البيانات.

هل الانحراف المعياري الأقل أفضل في الاستثمار؟

إن الانحراف المعياري الأقل ليس بالضرورة أفضل. فهو يشير إلى مزيد من المخاطر، والتي قد يفضلها المستثمرون أو لا يفضلونها. عند تقييم مقدار الانحراف في محافظهم الاستثمارية، يجب على المستثمرين أن يأخذوا في اعتبارهم تحملهم لـ التقلب وأهدافهم الاستثمارية العامة. قد يكون المستثمرون الأكثر جرأة مرتاحين لاستراتيجية استثمار تختار أدوات ذات تقلب أعلى من المتوسط، بينما قد لا يكون المستثمرون الأكثر تحفظًا كذلك.

الخلاصة

الانحراف المعياري هو وسيلة لتقييم المخاطر، خاصة في الأعمال والاستثمار. يستخدم المسافة بين النقاط في مجموعة البيانات عن المتوسط لتحديد مدى تشتت المجموعة، وبالتالي، مدى تقلبها مع مرور الوقت.

يمكن للمستثمرين استخدام الانحراف المعياري لتحديد مدى استقرار أو توقع الاستثمار. تستخدم الشركات الانحراف المعياري لتقييم المخاطر، وإدارة العمليات، وتخطيط التدفقات النقدية. مثل أي قياس إحصائي آخر، فإن للانحراف المعياري نقاط قوة وحدود يجب أخذها في الاعتبار عند استخدامه.