ما هي شجرة ذات الحدين؟
شجرة ثنائية هي تمثيل بياني للقيم الجوهرية المحتملة التي قد يأخذها الخيار في عقد مختلف أو فترات زمنية مختلفة. تعتمد قيمة الخيار على السهم أو السند الأساسي، وتعتمد قيمة الخيار في أي عقدة على احتمال أن سعر الأصل الأساسي سيزيد أو ينقص في أي عقدة معينة.
النقاط الرئيسية
- الشجرة الثنائية هي تمثيل للقيم الجوهرية التي قد تأخذها الخيارات في فترات زمنية مختلفة.
- تعتمد قيمة الخيار في أي عقدة على احتمال أن ينخفض أو يرتفع سعر الأصل الأساسي في أي عقدة معينة.
- على الجانب السلبي—يمكن أن تكون قيمة الأصل الأساسي واحدة فقط من قيمتين محتملتين، وهو ما ليس واقعيًا.
كيف تعمل شجرة ثنائية الحدود
تُعتبر الشجرة الثنائية أداة مفيدة عند تسعير الخيارات الأمريكية والخيارات المدمجة. تكمن ميزتها وعيبها في بساطتها في نفس الوقت. فالشجرة سهلة النمذجة ميكانيكيًا، لكن المشكلة تكمن في القيم المحتملة التي يمكن أن يأخذها الأصل الأساسي في فترة واحدة.
في نموذج الشجرة الثنائية، يمكن أن تكون قيمة الأصل الأساسي واحدة من قيمتين ممكنتين فقط، وهو ما لا يعكس الواقع، حيث يمكن أن تكون قيمة الأصول أي عدد من القيم ضمن أي نطاق معين. تتيح الشجرة الثنائية للمستثمرين تقييم متى وإذا ما سيتم ممارسة الخيار. يكون للخيار احتمال أعلى للممارسة إذا كانت له قيمة إيجابية.
اعتبارات خاصة
نموذج تسعير الخيارات الثنائية binomial options pricing model هو طريقة لتقييم الخيارات. الخطوة الأولى في نموذج تسعير الخيارات الثنائية هي بناء الشجرة الثنائية. يعتمد نموذج تسعير الخيارات الثنائية على الأصل الأساسي على مدى فترة زمنية بدلاً من نقطة واحدة في الزمن.
هناك بعض الافتراضات الرئيسية في نموذج تسعير الخيارات الثنائية. أولاً، هناك سعران محتملان فقط، أحدهما صعودي والآخر هبوطي. ثانيًا، الأصل الأساسي لا يدفع أي توزيعات أرباح. ثالثًا، معدل الفائدة ثابت، ورابعًا، لا توجد ضرائب أو تكاليف معاملات.
الشجرة الثنائية مقابل نموذج بلاك-شولز
نموذج بلاك شولز هو طريقة أخرى لتقييم الخيارات. حساب السعر باستخدام شجرة ثنائية (binomial tree) يكون أبطأ من نموذج بلاك شولز. ومع ذلك، فإن الشجرة الثنائية ونموذج BOPM أكثر دقة. هذا صحيح بشكل خاص للخيارات ذات المدة الأطول وتلك الأوراق المالية التي تدفع توزيعات أرباح.
يعتبر نموذج بلاك شولز أكثر موثوقية عندما يتعلق الأمر بالخيارات المعقدة وتلك التي تحتوي على الكثير من عدم اليقين. بالنسبة للخيارات الأوروبية بدون توزيعات أرباح، يتقارب ناتج نموذج الشجرة الثنائية ونموذج بلاك شولز مع زيادة خطوات الزمن.
مثال على شجرة ثنائية الحدين
افترض أن هناك سهمًا بسعر 100 دولار، وسعر تنفيذ الخيار 100 دولار، وتاريخ انتهاء صلاحية لمدة عام واحد، ومعدل فائدة (r) بنسبة 5%.
في نهاية العام، هناك احتمال بنسبة 50% أن يرتفع السهم إلى 125 دولارًا واحتمال بنسبة 50% أن ينخفض إلى 90 دولارًا. إذا ارتفع السهم إلى 125 دولارًا، ستكون قيمة الخيار 25 دولارًا (سعر السهم 125 دولارًا ناقص سعر التنفيذ 100 دولار). وإذا انخفض إلى 90 دولارًا، سيكون الخيار بلا قيمة.
قيمة الخيار ستكون:
قيمة الخيار = [(احتمالية الارتفاع * قيمة الارتفاع) + (احتمالية الانخفاض * قيمة الانخفاض)] / (1 + معدل الفائدة) = [(0.50 * $25) + (0.50 * $0)] / (1 + 0.05) = $11.90.