تعريف
يستخدم نموذج تسعير الخيارات الثنائي إجراءً تكراريًا، مما يسمح بتحديد العقد أو النقاط الزمنية بين تاريخ التقييم وتاريخ انتهاء صلاحية الخيار.
نموذج تسعير الخيارات الثنائي هو طريقة لتقييم الخيارات. تم تطويره في السبعينيات من قبل الاقتصاديين جون كوكس وستيفن روس ومارك روبنشتاين، ويقدم النموذج الثنائي بديلاً أكثر وضوحًا لصيغة بلاك-شولز الشهيرة. يقوم بتقسيم فترة حياة الخيار إلى فترات منفصلة، مع افتراض أن سعر الأصل الأساسي يمكن أن يتحرك فقط لأعلى أو لأسفل بمقدار معين في كل خطوة. يسمح هذا التبسيط بنهج أكثر مرونة في تقييم الخيارات، خاصة في السيناريوهات المعقدة التي واجهت النماذج السابقة صعوبة في التعامل معها.
بشكل أكثر رسمية، يستخدم نموذج تسعير الخيارات الثنائي إجراءً تكراريًا، مما يسمح بتحديد العقد أو النقاط الزمنية خلال الفترة الزمنية بين تاريخ التقييم وتاريخ انتهاء صلاحية الخيار.
فيما يلي، نستكشف آليات هذه الأداة، ونبحث في تطبيقاتها في سيناريوهات التداول الواقعية، ونفحص قيودها، بالإضافة إلى النقاشات المستمرة حول فعاليتها في عصر التداول عالي التردد (HFT) وخوارزميات التعلم الآلي (ML).
النقاط الرئيسية
- نموذج تسعير الخيارات الثنائي هو تقنية تُستخدم لتقييم الخيارات من خلال محاكاة المسارات المحتملة التي يمكن أن يتخذها سعر الأصل الأساسي خلال فترة حياة الخيار.
- يفترض أن سعر الأصل الأساسي يمكن أن يتحرك فقط لأعلى أو لأسفل بمقدار معين في كل مرة، مما يخلق "شجرة ثنائية" من الحركات السعرية المحتملة.
- هذا النموذج مفيد بشكل خاص لتقييم الخيارات الأمريكية، التي يمكن ممارستها قبل انتهاء الصلاحية لأنه يقيّم أفضل أوقات التنفيذ.
- يصبح النموذج أكثر دقة مع زيادة عدد خطوات الزمن، وفي النهاية يتقارب مع نموذج بلاك-شولز في حدود الخطوات اللانهائية.
- المدخلات الرئيسية للنموذج تشمل سعر السهم، سعر التنفيذ، الوقت حتى انتهاء الصلاحية، معدل الفائدة الخالي من المخاطر، وتقلب الأصل.
يستخدم النموذج شجرة ثنائية الخطوات لتقدير تغير أسعار الخيارات، مما يتيح التعامل مع الخيارات الأمريكية التي يمكن ممارستها في أي وقت قبل انتهاء الصلاحية. قد يبدو مثال مبسط لشجرة ثنائية (binomial tree) شيئًا مثل هذا:
أساسيات نموذج تسعير الخيارات الثنائية
مع نماذج تسعير الخيارات الثنائية، تكون الافتراضات أن هناك نتيجتين محتملتين - ومن هنا يأتي الجزء الثنائي من النموذج. مع نموذج التسعير، تكون النتيجتان إما حركة صعودية أو حركة هبوطية. الميزة الرئيسية لنموذج تسعير الخيارات الثنائية هي أنها بسيطة من الناحية الرياضية. ومع ذلك، يمكن أن تصبح هذه النماذج معقدة في نموذج متعدد الفترات.
على النقيض من نموذج بلاك-شولز، الذي يقدم نتيجة رقمية بناءً على المدخلات، فإن النموذج الثنائي يسمح بحساب الأصل والخيار لعدة فترات، بالإضافة إلى نطاق النتائج المحتملة لكل فترة.
الميزة في هذا العرض متعدد الفترات هي أن المستخدم يمكنه تصور التغير في سعر الأصل من فترة إلى أخرى وتقييم الخيار بناءً على القرارات المتخذة في نقاط زمنية مختلفة. بالنسبة للخيارات الأمريكية options، التي يمكن ممارستها في أي وقت قبل تاريخ الانتهاء، يمكن لنموذج ثنائي الحدين توضيح متى يكون من الأفضل ممارسة الخيار ومتى يجب الاحتفاظ به لفترات أطول.
من خلال النظر إلى شجرة القيم الثنائية، يمكن للمتداول تحديد مسبقًا متى قد يحدث قرار بشأن ممارسة الخيار. إذا كان للخيار قيمة إيجابية، يمكن ممارسته. ومع ذلك، إذا كان للخيار قيمة سلبية، فيجب الاحتفاظ به لفترات أطول.
حساب السعر باستخدام نموذج ثنائي الحدين
الطريقة الأساسية لحساب نموذج الخيار الثنائي هي استخدام نفس الاحتمالية لكل فترة للنجاح والفشل حتى انتهاء صلاحية الخيار. ومع ذلك، يمكن للمتداول دمج احتمالات مختلفة لكل فترة بناءً على المعلومات الجديدة التي يتم الحصول عليها مع مرور الوقت.
تُعتبر شجرة ثنائية الحدين أداة مفيدة عند تسعير الخيارات الأمريكية والخيارات المدمجة. تكمن ميزتها وعيبها في بساطتها في نفس الوقت. من السهل نمذجة الشجرة ميكانيكيًا، لكن المشكلة تكمن في القيم المحتملة التي يمكن أن يأخذها الأصل الأساسي في فترة واحدة. في نموذج الشجرة ثنائية الحدين، يمكن أن يكون الأصل الأساسي بقيمة واحدة من قيمتين ممكنتين فقط، وهو أمر غير واقعي، حيث يمكن أن تكون الأصول بقيمة أي عدد من القيم ضمن أي نطاق معين.
على سبيل المثال، قد تكون هناك فرصة بنسبة 50/50 أن سعر الأصل الأساسي يمكن أن يزيد أو ينقص بنسبة 30% في فترة واحدة. ومع ذلك، في الفترة الثانية، قد تزداد احتمالية ارتفاع سعر الأصل الأساسي إلى 70/30.
على سبيل المثال، إذا كان المستثمر يقوم بتقييم بئر نفط، فإن هذا المستثمر ليس متأكدًا من قيمة هذا البئر، ولكن هناك احتمال بنسبة 50/50 أن يرتفع السعر. إذا ارتفعت أسعار النفط في الفترة الأولى، مما يجعل البئر أكثر قيمة، وأشارت العوامل الأساسية في السوق الآن إلى زيادات مستمرة في أسعار النفط، فقد تكون احتمالية زيادة السعر الآن 70%. يتيح النموذج الثنائي هذه المرونة؛ بينما لا يتيحها نموذج بلاك-شولز.
كيفية استخدام نموذج تسعير الخيارات الثنائية
نموذج تسعير الخيارات الثنائي يستوعب مجموعة من الأدوات المالية بدءًا من الخيارات الأمريكية والأوروبية القياسية إلى المشتقات الأكثر تعقيدًا والخيارات الحقيقية المستخدمة في التمويل المؤسسي. يُستخدم هذا النموذج ليس فقط للتسعير وإدارة المخاطر، بل أيضًا للمساعدة في اتخاذ القرارات الاستراتيجية والتحوط، كما يساعد في فهم كيفية تقييم الخيارات. يوفر نهجه التدريجي القائم على الشجرة رؤى واضحة حول كيفية تأثير ظروف السوق على قيم الخيارات، مما يجعله نموذجًا أساسيًا للمحللين والمتداولين وغيرهم من المحترفين في مجال التمويل المؤسسي.
يمكن للمؤسسات المالية استخدام النموذج لتقييم المخاطر المرتبطة بحيازة الخيارات. من خلال إجراء محاكاة متعددة للسوق ومراقبة كيفية تأثير التغيرات في المتغيرات السوقية مثل معدلات الفائدة وأسعار الأسهم على قيمة الخيار، يمكن لمديري المخاطر فهم الخسائر المحتملة بشكل أفضل والاستعداد لوضع استراتيجيات تخفيفية.
بالإضافة إلى ذلك، يستخدم المتداولون النموذج لوضع استراتيجيات التحوط من خلال فهم كيفية أداء الخيارات في ظل سيناريوهات مختلفة. يساعد النموذج في تحديد عدد الأسهم اللازمة للتحوط ضد مركز في الخيارات. يُعرف هذا باسم التحوط الدلتا. وبالتالي، يُسمح للمتداولين بتقليل المخاطر بناءً على التحركات المتوقعة في السوق. استخدام آخر هو لتقييم الخيارات الغريبة. على الرغم من أنه مصمم بشكل أساسي للخيارات القياسية، يمكن تعديل نموذج تسعير الخيارات الثنائية لتسعير المنتجات الأكثر تعقيدًا، مثل الخيارات الغريبة، التي تحتوي على ميزات لا تمتلكها الخيارات الأوروبية أو الأمريكية القياسية. يمكن تعديل النموذج للتعامل مع الخيارات المعتمدة على المسار مثل الخيارات الآسيوية وخيارات الحاجز، على الرغم من الحاجة إلى تقنيات أكثر تطورًا.
خارج الأسواق المالية، يتم تطبيق نموذج تسعير الخيارات الثنائي في تحليل الخيارات الحقيقية، الذي يقيّم فرص الاستثمار المشابهة للخيارات في تخطيط رأس المال. يُستخدم هذا النهج لتقييم قيمة اتخاذ قرارات الأعمال، مثل التوسع أو الانكماش أو تأجيل مشاريع الاستثمار، في ظل عدم اليقين.
علاوة على ذلك، يُعتبر النموذج أداة تعليمية ممتازة بسبب بساطته ونهجه التدريجي في التقييم. فهو يساعد الطلاب والمحترفين الجدد في مجال المالية على فهم أساسيات تسعير الخيارات قبل الانتقال إلى نماذج أكثر تعقيدًا مثل نموذج بلاك شولز أو محاكاة مونت كارلو.
أخيرًا، قد تستخدم الشركات نموذج تسعير الخيارات الثنائية لتسعير السندات القابلة للتحويل، والضمانات، وخيارات الأسهم للموظفين. فهم قيم هذه الأدوات يساعد في اتخاذ قرارات التمويل والتعويض.
بالفعل، فإن قدرة نموذج تسعير الخيارات الثنائي على التكيف مع أنواع مختلفة من الخيارات وظروف السوق، إلى جانب تمثيله البصري الواضح للقرارات في كل خطوة، يجعله لا يقدر بثمن في كل من التمويل النظري والعمليات المالية العملية.
مزايا وعيوب نموذج تسعير الخيارات الثنائية
المزايا
مرن
قابلة للتعديل بسهولة
تصور بديهي
عيوب
كثيفة الحسابات
حساسية تقدير التقلبات
افتراضات مبسطة
ساعد صعود التداول عالي التردد (HFT) والخوارزميات القائمة على التعلم الآلي (ML) في إثراء النقاشات حول استمرار أهمية النموذج. يعمل التداول عالي التردد على مقاييس زمنية أقصر بكثير مما تأخذه نماذج تسعير الخيارات التقليدية بعين الاعتبار، مما قد يستغل عدم الكفاءة التي لا يلتقطها النموذج.
في الوقت نفسه، يمكن لخوارزميات التعلم الآلي معالجة كميات هائلة من البيانات لتحديد أنماط التسعير التي قد تنحرف عن افتراضات نموذج ثنائي الحدين. غالبًا ما تتطلب هذه التقنيات نهجًا أكثر ديناميكية يعتمد على البيانات لتسعير الخيارات. ومع ذلك، تظل الأفكار الأساسية لنموذج ثنائي الحدين ذات قيمة، حتى لو كان من الضروري دعمها بتقنيات أكثر تطورًا في بعض السيناريوهات السوقية السريعة أو المعقدة.
نماذج تسعير الخيارات الأخرى
تشمل نماذج تسعير الخيارات الأخرى نموذج بلاك-شولز، ومحاكاة مونت كارلو، وطريقة الفروق المحدودة.
- محاكاة مونت كارلو: تستخدم هذه التقنية العينات العشوائية والنمذجة الإحصائية لتقدير الدوال الرياضية ومحاكاة سلوك الأصول المختلفة على مر الزمن. تعتبر محاكاة مونت كارلو مفيدة بشكل خاص لتسعير الخيارات التي يعتمد العائد فيها على المسار، مثل الخيارات الآسيوية أو الخيارات الأمريكية.
- طريقة الفروق المحدودة: يُستخدم هذا النموذج لحل المعادلات التفاضلية عن طريق تقريبها بمعادلات الفروق التي تقرب الفروق المحدودة. بالنسبة لأسعار الخيارات، تُستخدم طريقة الفروق المحدودة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية التي تُشتق عادةً من صيغ تسعير الخيارات، مثل تلك الموجودة في إطار عمل بلاك-شولز. تُعتبر هذه التقنية فعّالة بشكل خاص للخيارات الأمريكية والمشتقات الأخرى حيث يتطلب تقييم المخاطر تحليل التأثيرات على مر الزمن إذا كان من الممكن نمذجة شروط الحدود بكفاءة.
يتم اختيار كل نموذج بناءً على الخصائص المحددة للخيار الذي يتم تقييمه والافتراضات التي يمكن تبريرها بشكل معقول للأصل الأساسي وديناميكيات السوق. إليك ملخص لهذه النماذج ونماذج تسعير الخيارات الأخرى التي يجب أن يعرفها المتداولون:
مثال واقعي لنموذج تسعير الخيارات الثنائية
مثال مبسط لشجرة ثنائية binomial tree يحتوي على خطوة واحدة فقط. افترض أن هناك سهمًا يُسعر بـ 100 دولار للسهم الواحد. في غضون شهر واحد، سيرتفع سعر هذا السهم بمقدار 10 دولارات أو سينخفض بمقدار 10 دولارات، مما يخلق هذا الوضع:
- سعر السهم = 100 دولار
- سعر السهم بعد شهر (في حالة الارتفاع) = 110 دولارًا
- سعر السهم في شهر واحد (حالة الانخفاض) = 90 دولارًا
بعد ذلك، افترض أن هناك خيار شراء متاح على هذا السهم ينتهي في غضون شهر واحد وله سعر تنفيذ يبلغ 100 دولار. في حالة الارتفاع، تكون قيمة خيار الشراء هذا 10 دولارات، وفي حالة الانخفاض، تكون قيمته 0 دولار. يمكن لنموذج ثنائي الحدين حساب ما يجب أن يكون عليه سعر خيار الشراء اليوم.
لتبسيط الأمر، افترض أن مستثمرًا يشتري نصف سهم من الأسهم ويكتب أو يبيع خيار شراء واحد. الاستثمار الكلي اليوم هو سعر نصف السهم مطروحًا منه سعر الخيار، والعوائد المحتملة في نهاية الشهر هي كما يلي:
- التكلفة اليوم = 50 دولار - سعر الخيار
- قيمة المحفظة (في حالة الصعود) = 55 دولار - الحد الأقصى (110 دولار - 100 دولار، 0) = 45 دولار
- قيمة المحفظة (في حالة الانخفاض) = 45 دولار - الحد الأقصى (90 دولار - 100 دولار، 0) = 45 دولار
يكون العائد من المحفظة متساويًا بغض النظر عن كيفية تحرك سعر السهم. بالنظر إلى هذه النتيجة، وبافتراض عدم وجود فرص للمراجحة، يجب أن يحقق المستثمر معدل العائد الخالي من المخاطر خلال الشهر. يجب أن تساوي التكلفة اليوم العائد المخصوم بمعدل العائد الخالي من المخاطر لشهر واحد. المعادلة التي يجب حلها هي كالتالي:
- سعر الخيار = 50 دولار - 45 دولار × e^(-معدل الفائدة الخالي من المخاطر × T)، حيث e هو الثابت الرياضي 2.7183.
بافتراض أن معدل العائد الخالي من المخاطر هو 3% سنويًا، وT تساوي 0.0833 (واحد مقسوم على 12)، فإن سعر خيار الشراء اليوم هو 5.11 دولار.
يقدم نموذج تسعير الخيارات الثنائي ميزتين لبائعي الخيارات مقارنة بنموذج بلاك-شولز. الأولى هي بساطته، مما يسمح بحدوث أخطاء أقل في التطبيق التجاري. والثانية هي عمليته التكرارية، التي تعدل الأسعار في الوقت المناسب لتقليل الفرصة أمام المشترين لتنفيذ استراتيجيات المراجحة.
ما هي بعض حدود نموذج تسعير الخيارات الثنائية؟
إحدى النقاط هي أن النموذج يفترض أن التقلب ثابت طوال فترة حياة الخيار. في العالم الحقيقي، الأسواق ديناميكية وتشهد ارتفاعات خلال فترات الضغط السوقي. مشكلة أخرى هي أن النموذج يعتمد على محاكاة حركات الأصول بشكل متقطع وليس مستمر. وبالتالي، قد لا يتمكن النموذج من التقاط التغيرات السريعة في الأسعار بشكل فعال، خاصة إذا كان عدد الخطوات قليلًا جدًا.
أخيرًا، يتجاهل النموذج تكاليف المعاملات والضرائب والفروق السعرية. هذه العوامل يمكن أن تؤثر على التكلفة الحقيقية لتنفيذ الصفقات وتوقيت هذه الأنشطة، مما يؤثر على الاستخدام العملي للنموذج في سيناريوهات التداول في العالم الحقيقي.
كيف يتعامل نموذج تسعير الخيارات الثنائية مع الخيارات غير القياسية؟
تصبح الأشجار الثنائية أكثر تعقيدًا عندما تحاول التعامل مع الخيارات غير القياسية. يجب دمج معلمات إضافية أو متغيرات أو قيود في كل عقدة، وهذا يمكن أن يجعل عملية الحساب أكثر صعوبة.
ما مدى شفافية وفهم نموذج تسعير الخيارات الثنائي؟
يُعتبر النموذج واحدًا من النماذج الأكثر شفافية وفهمًا، وذلك بشكل رئيسي بسبب هيكله المنطقي والبديهي. ومع ذلك، هناك حاجة إلى تواصل فعال بشأن افتراضاته وحدوده لضمان أن جميع الأطراف المعنية تفهم قدراته وحدوده في التطبيقات العملية.
الخلاصة
يتميز نموذج تسعير الخيارات الثنائي بمرونته وقدرته على التكيف في التعامل مع مجموعة متنوعة من الخيارات، خاصة الخيارات الأمريكية. إن نهجه التدريجي في بناء مسارات الأسعار يجعله بديهيًا للغاية وقادرًا على استيعاب السيناريوهات المعقدة، بما في ذلك توزيعات الأرباح المتغيرة وأسعار الفائدة المتقلبة.
ومع ذلك، يتطلب الأمر دراسة متأنية للمعايير المدخلة والموارد الحسابية، خاصة للحصول على تقديرات دقيقة للتقلبات والتنقل عبر العديد من الخطوات. وعلى الرغم من هذه التحديات، فإن قدرة النموذج على تصوير التطورات السعرية المحتملة بصريًا والتكيف مع ظروف السوق المختلفة تجعله أداة قيمة في ترسانة المتداولين والمحللين.