نموذج بلاك-شولز: ما هو، كيف يعمل، وصيغة الخيارات

تعريف

نموذج بلاك-شولز يقدّر القيمة النظرية للمشتقات بناءً على أدوات استثمارية أخرى. يُعرف أيضًا باسم نموذج بلاك-شولز-ميرتون (BSM)، حيث يأخذ في الاعتبار تأثير الزمن وعوامل المخاطرة الأخرى.

نموذج بلاك-شولز هو واحد من أهم المفاهيم في النظرية المالية الحديثة. يُعرف أيضًا بنموذج بلاك-شولز-ميرتون (BSM)، وهذه المعادلة الرياضية تقدّر القيمة النظرية للمشتقات بناءً على أدوات استثمارية أخرى، مع أخذ تأثير الوقت وعوامل المخاطرة الأخرى في الاعتبار. تم تطويره في عام 1973 ولا يزال يُعتبر واحدًا من أفضل الطرق لتسعير عقد الخيارات. price an options contract.

النقاط الرئيسية

• يُعرف نموذج بلاك-شولز أيضًا باسم نموذج بلاك-شولز-ميرتون أو نموذج BSM.
• إنها معادلة تفاضلية تُستخدم بشكل واسع لتسعير عقود الخيارات.
• يتطلب نموذج بلاك-شولز خمسة متغيرات إدخال: سعر التنفيذ للخيار، السعر الحالي للسهم، الوقت حتى انتهاء الصلاحية، معدل العائد الخالي من المخاطر، والتقلب.
• نموذج بلاك-شولز عادة ما يكون دقيقًا ولكنه يقوم ببعض الافتراضات التي يمكن أن تؤدي إلى توقعات تنحرف عن النتائج في العالم الحقيقي.
• يُستخدم نموذج BSM القياسي فقط لتسعير الخيارات الأوروبية لأنه لا يأخذ في الاعتبار أن الخيارات الأمريكية يمكن ممارستها قبل تاريخ الانتهاء.

تاريخ نموذج بلاك-شولز

تم تطوير نموذج بلاك-شولز في عام 1973 بواسطة فيشر بلاك، روبرت ميرتون، ومايرون شولز، وكان أول طريقة رياضية مستخدمة على نطاق واسع لحساب القيمة النظرية لعقد الخيار. يستخدم هذا النموذج أسعار الأسهم الحالية، والأرباح المتوقعة، وسعر التنفيذ للخيار، وأسعار الفائدة المتوقعة، والوقت حتى انتهاء الصلاحية، والتقلبات المتوقعة.

تم تقديم المعادلة الأولية في ورقة بلاك وشولز لعام 1973، "تسعير الخيارات والالتزامات المؤسسية"، التي نُشرت في مجلة الاقتصاد السياسي. ساعد روبرت سي. ميرتون في تحرير الورقة. نشر مقالته الخاصة في مجلة بيل للاقتصاد وعلوم الإدارة في وقت لاحق من ذلك العام بعنوان: "نظرية تسعير الخيارات العقلانية". قام بتوسيع الفهم الرياضي وتطبيقات النموذج وصاغ مصطلح "نظرية بلاك-شولز لتسعير الخيارات".

حصل شولز وميرتون على جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية في عام 1997 لعملهما في إيجاد "طريقة جديدة لتحديد قيمة المشتقات المالية." كان بلاك قد توفي قبل ذلك بعامين، لذا لم يكن بإمكانه أن يكون مستلمًا للجائزة لأن جوائز نوبل لا تُمنح بعد الوفاة. ومع ذلك، اعترفت لجنة نوبل بدوره في نموذج بلاك-شولز.

كيف يعمل نموذج بلاك-شولز

يفترض نموذج بلاك-شولز أن الأدوات المالية مثل الأسهم أو عقود العقود الآجلة سيكون لها توزيع لوجاريتمي طبيعي للأسعار يتبع المشي العشوائي مع انحراف وثبات في التقلبات. يستخدم المعادلة هذا الافتراض ويأخذ في الاعتبار متغيرات مهمة أخرى لاشتقاق سعر خيار الشراء الأوروبي.

تتطلب معادلة بلاك-شولز ستة متغيرات: التقلب، سعر الأصل الأساسي، سعر التنفيذ للخيار، الوقت حتى انتهاء صلاحية الخيار، معدل الفائدة الخالي من المخاطر، ونوع الخيار، سواء كان خيار شراء أو خيار بيع. من الناحية النظرية، يمكن لبائعي الخيارات تحديد أسعار عقلانية باستخدام هذه المتغيرات للخيارات التي يقومون ببيعها.

يتوقع النموذج أن سعر الأصول المتداولة بكثافة يتبع حركة براونية هندسية مع انحراف وثبات في التقلب. يدمج النموذج التغير الثابت في سعر السهم، وقيمة المال مع مرور الوقت، وسعر التنفيذ للخيار، والوقت المتبقي حتى انتهاء صلاحية الخيار عند تطبيقه على خيار الأسهم.

افتراضات بلاك-شولز

نموذج بلاك-شولز يقوم على افتراضات معينة:

• لا يتم دفع أي توزيعات أرباح خلال فترة حياة الخيار.
• الأسواق عشوائية لأن تحركات السوق لا يمكن التنبؤ بها.
• لا توجد تكاليف معاملات عند شراء الخيار.
• العوائد للأصل الأساسي تتبع التوزيع الطبيعي.

لم يأخذ نموذج بلاك-شولز الأصلي في الاعتبار تأثير الأرباح الموزعة خلال فترة حياة الخيار، ولكن يتم تعديل النموذج بشكل متكرر ليأخذ في الاعتبار الأرباح الموزعة من خلال تحديد قيمة السهم الأساسي في تاريخ ما بعد توزيع الأرباح. كما يتم تعديل النموذج من قبل العديد من صانعي السوق الذين يبيعون الخيارات ليأخذ في الاعتبار تأثير الخيارات التي يمكن ممارستها قبل انتهاء الصلاحية.

ستستخدم الشركات بدلاً من ذلك نموذجًا ثنائي الحدين أو ثلاثي الحدين أو نموذج Bjerksund-Stensland لتسعير الخيارات الأكثر تداولاً من النوع الأمريكي.

نموذج بلاك-شولز (Black-Scholes) الصيغة

الرياضيات المتضمنة في الصيغة معقدة وقد تكون مخيفة، لكن ليس عليك معرفة أو حتى فهم الرياضيات لاستخدام نموذج بلاك-شولز في استراتيجياتك. يمتلك متداولو الخيارات إمكانية الوصول إلى مجموعة متنوعة من حاسبات الخيارات عبر الإنترنت، وتفخر العديد من منصات التداول بأدوات تحليل الخيارات القوية التي تتضمن مؤشرات وجداول بيانات تقوم بإجراء الحسابات وتقديم قيم تسعير الخيارات.

يتم حساب صيغة خيار الشراء لـ Black-Scholes عن طريق ضرب سعر السهم في دالة التوزيع الاحتمالي الطبيعي القياسي التراكمي. ثم يتم طرح القيمة الحالية الصافية (NPV) لسعر التنفيذ مضروبة في التوزيع الطبيعي القياسي التراكمي من القيمة الناتجة عن الحساب السابق.

C = S N(d1) − K e^(-rt) N(d2) حيث:
d1 = ln(K/S) + (r + (σv^2 / 2)) t / (σs √t)
و d2 = d1 − σs √t

حيث:
C = سعر خيار الشراء
S = سعر السهم الحالي (أو السعر الأساسي الآخر)
K = سعر التنفيذ
r = معدل الفائدة الخالي من المخاطر
t = الوقت حتى الاستحقاق
N = توزيع طبيعي

C = S N(d1) − K e^(-rt) N(d2) حيث:
d1 = ln(K/S) + (r + (σv^2 / 2)) t / (σs √t)
و d2 = d1 − σs √t

حيث:
C = سعر خيار الشراء
S = سعر السهم الحالي (أو السعر الأساسي الآخر)
K = سعر التنفيذ
r = معدل الفائدة الخالي من المخاطر
t = الوقت حتى الاستحقاق
N = توزيع طبيعي

بلاك، شولز، ميرتون.

انحراف التقلبات

يفترض نموذج بلاك-شولز أن أسعار الأسهم تتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا لأن أسعار الأصول لا يمكن أن تكون سلبية، فهي محدودة بالصفر.

غالبًا ما يُلاحظ أن أسعار الأصول تتمتع بدرجة كبيرة من الانحراف إلى اليمين skewness وبعض الدرجة من التفلطح kurtosis أو الأطراف السميكة. تحدث التحركات الهبوطية عالية المخاطر في السوق بشكل أكثر تكرارًا مما تتنبأ به التوزيعات الطبيعية.

وفقًا لنموذج بلاك-شولز، يجب أن يُظهر افتراض الأسعار الأساسية للأصول ذات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أن التقلبات الضمنية متشابهة لكل سعر تنفيذ. ومع ذلك، كانت التقلبات الضمنية للخيارات عند سعر التنفيذ الحالي أقل من تلك التي تكون خارج نطاق المال أو بعيدة في نطاق المال، وذلك منذ انهيار السوق في عام 1987. يقوم السوق بتسعير احتمالية أكبر لحركة تقلب عالية نحو الانخفاض في الأسواق.

أدى ذلك إلى وجود انحراف التقلبات. يمكن رؤية شكل الابتسامة أو الانحراف عندما يتم رسم التقلبات الضمنية للخيارات التي لها نفس تاريخ الانتهاء على رسم بياني. لذلك، فإن نموذج بلاك-شولز ليس فعالًا في حساب التقلب الضمني.

فوائد وقيود نموذج بلاك-شولز

الفوائد

• يعمل كإطار مستقر يعتمد على طريقة محددة.

• يسمح للمستثمرين بتخفيف المخاطر من خلال فهم أفضل للتعرضات.

• يمكن استخدامها لوضع استراتيجيات لإنشاء محفظة استثمارية بناءً على تفضيلات المستثمر.

• يبسط ويحسن من كفاءة حساب وتقرير الأرقام بشكل فعال

القيود

• لا يأخذ في الاعتبار جميع أنواع الخيارات

• قد تفتقر إلى مرونة التدفق النقدي بناءً على التوقعات المستقبلية للأوراق المالية.

• قد يقوم بعمل افتراضات غير دقيقة حول استقرار التقلبات في المستقبل

• يعتمد على العديد من الافتراضات الأخرى التي قد لا تتحقق في السعر الفعلي للأوراق المالية.

فوائد نموذج بلاك-شولز

تم تنفيذ نموذج بلاك-شولز بنجاح واستخدامه من قبل العديد من المتخصصين الماليين نظرًا لتنوع الفوائد التي يقدمها.

• يوفر إطار عمل: يوفر نموذج بلاك-شولز إطارًا نظريًا لتسعير الخيارات. يتيح ذلك للمستثمرين والمتداولين تحديد السعر العادل للخيار باستخدام منهجية منظمة ومحددة تم اختبارها وتجربتها.
• يسمح بإدارة المخاطر: يمكن للمستثمرين استخدام نموذج بلاك-شولز لإدارة تعرضهم للمخاطر المتعلقة بمختلف الأصول من خلال معرفة القيمة النظرية للخيار. لذلك، يعتبر نموذج بلاك-شولز مفيدًا للمستثمرين ليس فقط في تقييم العوائد المحتملة ولكن أيضًا في فهم نقاط الضعف في المحفظة والمجالات الاستثمارية الضعيفة.
• يسمح بتحسين المحفظة: يمكن استخدام نموذج بلاك-شولز لتحسين المحافظ من خلال توفير مقياس للعوائد المتوقعة والمخاطر المرتبطة بالخيارات المختلفة. هذا يسمح للمستثمرين باتخاذ قرارات أكثر ذكاءً تتماشى بشكل أفضل مع تحملهم للمخاطر وسعيهم لتحقيق الربح.
• يعزز كفاءة السوق: أدى نموذج بلاك-شولز إلى زيادة كفاءة السوق والشفافية حيث أصبح المتداولون والمستثمرون أكثر قدرة على تسعير وتداول الخيارات. هذا يبسط عملية التسعير لأنه يوجد فهم ضمني أكبر لكيفية اشتقاق الأسعار.
• يبسط التسعير: يُعتبر نموذج بلاك-شولز مقبولاً على نطاق واسع ويستخدمه الممارسون في الصناعة المالية، مما يسمح بقدر أكبر من الاتساق والقابلية للمقارنة عبر الأسواق والولايات القضائية.

قيود نموذج بلاك-شولز

يُستخدم نموذج بلاك-شولز على نطاق واسع، ولكن لا تزال هناك بعض العيوب في النموذج.

• يحد من الفائدة: يتم استخدام نموذج بلاك-شولز فقط لتسعير الخيارات الأوروبية. لا يأخذ في الاعتبار أن الخيارات الأمريكية يمكن ممارستها قبل تاريخ الانتهاء.
• يفتقر إلى مرونة التدفق النقدي: يفترض النموذج أن توزيعات الأرباح ومعدلات الخلو من المخاطر ثابتة، ولكن قد لا يكون هذا هو الحال. لذلك، قد يفتقر نموذج بلاك-شولز إلى القدرة على عكس التدفق النقدي المستقبلي الدقيق للاستثمار بسبب صلابة النموذج.
• يفترض ثبات التقلب: يفترض النموذج أيضًا أن التقلب يبقى ثابتًا طوال فترة حياة الخيار. وهذا غالبًا ليس هو الحال لأن التقلب يتغير مع مستوى العرض والطلب.
• يضلل الافتراضات الأخرى: يعتمد نموذج بلاك-شولز أيضًا على افتراضات أخرى. تشمل هذه الافتراضات عدم وجود تكاليف معاملات أو ضرائب، وأن معدل الفائدة الخالي من المخاطر ثابت لجميع آجال الاستحقاق، وأن البيع على المكشوف للأوراق المالية مع استخدام العائدات مسموح به، وأنه لا توجد فرص للمراجحة تأتي بدون مخاطر. يمكن لكل من هذه الافتراضات أن يؤدي إلى أسعار تنحرف عن النتائج الفعلية.

ماذا يفعل نموذج بلاك-شولز؟

نموذج بلاك-شولز، المعروف أيضًا باسم بلاك-شولز-ميرتون (BSM)، كان أول نموذج يُستخدم على نطاق واسع لتسعير الخيارات. تقوم المعادلة بحساب سعر خيار الشراء الأوروبي بناءً على متغيرات معروفة مثل السعر الحالي، وتاريخ الاستحقاق، وسعر التنفيذ، وذلك بناءً على افتراضات معينة حول سلوك أسعار الأصول.

يتم ذلك عن طريق طرح القيمة الحالية الصافية (NPV) لسعر التنفيذ مضروبًا في التوزيع الطبيعي القياسي التراكمي من حاصل ضرب سعر السهم ودالة توزيع الاحتمال الطبيعي القياسي التراكمي.

ما هي المدخلات لنموذج بلاك-شولز؟

المدخلات لمعادلة بلاك-شولز تشمل التقلب، سعر الأصل الأساسي، سعر التنفيذ للخيار، الوقت المتبقي حتى انتهاء صلاحية الخيار، معدل الفائدة الخالي من المخاطر، ونوع الخيار. من الناحية النظرية، من الممكن لبائعي الخيارات تحديد أسعار منطقية باستخدام هذه المتغيرات للخيارات التي يبيعونها.

ما هي الافتراضات التي يقوم عليها نموذج بلاك-شولز؟

يفترض نموذج بلاك-شولز الأصلي أن الخيار هو خيار من الطراز الأوروبي ولا يمكن ممارسته إلا عند انتهاء الصلاحية.

كما يفترض أنه لا يتم دفع أي توزيعات أرباح خلال فترة حياة الخيار، وأن تحركات السوق تتبع مسارًا عشوائيًا ولا يمكن التنبؤ بها، وأنه لا توجد تكاليف معاملات متضمنة في شراء الخيار، وأن معدل العائد الخالي من المخاطر وتقلب الخيار الأساسي معروفان وثابتان، وأن أسعار الأصل الأساسي تتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا.

ما هي قيود نموذج بلاك-شولز؟

يتم استخدام نموذج بلاك-شولز فقط لتسعير الخيارات الأوروبية. لا يأخذ في الاعتبار أن الخيارات الأمريكية يمكن ممارستها قبل تاريخ الانتهاء. يفترض النموذج أيضًا أن الأرباح الموزعة والتقلبات ومعدلات الخلو من المخاطر تظل ثابتة طوال فترة حياة الخيار. عدم أخذ الضرائب أو العمولات أو تكاليف التداول في الاعتبار يمكن أن يؤدي أيضًا إلى تقييمات تنحرف عن النتائج الواقعية.

الخلاصة

نموذج بلاك-شولز هو نموذج رياضي يُستخدم لحساب السعر العادل أو القيمة النظرية لأصل ما. يوفر طريقة لحساب القيمة النظرية لخيارات الشراء أو البيع من خلال أخذ سعر الأصل الأساسي الحالي في الاعتبار، ونوع الخيار، وسعر التنفيذ للخيار، والوقت المتبقي حتى انتهاء الصلاحية، ومعدل الفائدة الخالي من المخاطر، وتقلب الأصل الأساسي.

لقد كان لنموذج بلاك-شولز تأثير عميق على التمويل وأدى إلى تطوير مجموعة واسعة من المنتجات المشتقة مثل العقود الآجلة والمقايضات والخيارات.