ما هو نظرية النهاية المركزية (CLT)؟
في نظرية الاحتمالات، ينص مبرهنة الحد المركزي (CLT) على أن توزيع العينة سيقترب من التوزيع الطبيعي (أي، منحنى الجرس) كلما زاد حجم العينة، بغض النظر عن شكل التوزيع الفعلي للسكان.
بعبارة أخرى، يُعتبر مبدأ CLT فرضية إحصائية تشير إلى أنه، مع وجود حجم عينة كبير بما فيه الكفاية من مجتمع ذي مستوى محدود من التباين، فإن متوسط جميع المتغيرات المأخوذة من نفس المجتمع سيكون تقريبًا مساويًا لمتوسط المجتمع بأكمله. علاوة على ذلك، ستقترب هذه العينات من التوزيع الطبيعي، حيث ستكون تبايناتها تقريبًا مساوية لتباين المجتمع مع زيادة حجم العينة، وذلك وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة.
النقاط الرئيسية
- تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أن توزيع متوسطات العينات يقترب من التوزيع الطبيعي كلما زاد حجم العينة، بغض النظر عن توزيع المجتمع الأصلي.
- يمكن لعينة ذات حجم كافٍ أن تتنبأ بخصائص السكان بدقة أكبر.
- تُعتبر أحجام العينات التي تساوي أو تزيد عن 30 كافية غالبًا لتطبيق نظرية الحد المركزي (CLT).
- جانب رئيسي من نظرية الحد المركزي (CLT) هو أن متوسط العينات و الانحرافات المعيارية للعينة سيساوي متوسط وانحراف المجتمع المعياري.
- يُعتبر مبرهنة الحد المركزي (CLT) مفيدة في التمويل والاستثمار عند تحليل مجموعة كبيرة من الأوراق المالية لتقدير توزيعات المحفظة وخصائص العوائد والمخاطر والارتباط.
فهم نظرية الحد المركزي (CLT)
وفقًا لنظرية الحد المركزي، فإن متوسط عينة من البيانات سيكون أقرب إلى متوسط المجتمع الكلي المعني كلما زاد حجم العينة، بغض النظر عن التوزيع الفعلي للبيانات. يمكن أن يكون هذا المفهوم صحيحًا بغض النظر عما إذا كان توزيع المجتمع طبيعيًا أو منحرفًا.
كقاعدة عامة، يُعتبر حجم العينة الذي يبلغ 30 أو أكثر كافياً عادةً لتطبيق نظرية الحد المركزي (CLT)، مما يعني أن توزيع متوسطات العينات يكون موزعاً بشكل طبيعي إلى حد ما. بالإضافة إلى ذلك، كلما زاد عدد العينات التي يتم أخذها، كلما كانت النتائج المرسومة أقرب إلى شكل التوزيع الطبيعي.
يُستخدم مبرهنة الحد المركزي غالبًا بالتزامن مع قانون الأعداد الكبيرة، الذي ينص على أن متوسط العينات سيقترب من مساواة متوسط المجتمع كلما زاد حجم العينة. يمكن أن يكون هذا المفهوم مفيدًا للغاية في التنبؤ بدقة بخصائص المجتمعات الكبيرة جدًا.
على الرغم من أن هذا المفهوم تم تطويره لأول مرة بواسطة أبراهام دي موافر في عام 1733، إلا أنه لم يتم تقنينه حتى عام 1920، عندما أطلق عليه عالم الرياضيات المجري جورج بوليا اسم نظرية الحد المركزي.
المكونات الرئيسية لنظرية الحد المركزي
نظرية الحد المركزي تحتوي على عدة مكونات رئيسية. وهي تدور بشكل كبير حول تقنية أخذ العينات.
- العينة متتابعة: يعني أن بعض وحدات العينة تكون مشتركة مع وحدات العينة التي تم اختيارها في مناسبات سابقة.
- العينة عشوائية: يجب أن يتم اختيار جميع العينات بشكل عشوائي بحيث يكون لها نفس الاحتمالية الإحصائية للاختيار.
- يجب أن تكون العينات مستقلة: يجب ألا تؤثر الاختيارات أو النتائج من عينة واحدة على العينات المستقبلية أو نتائج العينات الأخرى.
- حجم العينة الكبير: مع زيادة حجم العينة، يجب أن تقترب توزيع العينة بشكل أكبر من التوزيع الطبيعي.
نظرية الحد المركزي في التمويل والاستثمار
يمكن أن يكون مبرهنة الحد المركزي (CLT) مفيدًا في فحص عوائد الأسهم الفردية أو مؤشرات الأسهم الأوسع نظرًا لأن التحليل بسيط، بسبب السهولة النسبية في توليد البيانات المالية اللازمة. ونتيجة لذلك، يعتمد المستثمرون غالبًا على مبرهنة الحد المركزي لتحليل عوائد الأسهم، وبناء المحافظ، وإدارة المخاطر.
على سبيل المثال، افترض أن مستثمرًا يرغب في تحليل العائد الإجمالي لمؤشر أسهم يتكون من 1,000 سهم مختلف. في هذا السيناريو، قد يقوم المستثمر ببساطة بدراسة عينة عشوائية من الأسهم للوصول إلى تقدير للعائد الإجمالي للمؤشر. لضمان الدقة في هذه الحالة، يجب اختيار ما لا يقل عن 30 إلى 50 سهمًا بشكل عشوائي من مختلف القطاعات لضمان تطبيق نظرية الحد المركزي.
لماذا يعتبر مبرهنة الحد المركزي مفيدة؟
نظرية الحد المركزي مفيدة عند تحليل مجموعات البيانات الكبيرة لأنها تسمح للمرء بافتراض أن توزيع العينة للمتوسط سيكون موزعًا بشكل طبيعي في معظم الحالات. هذا يسهل التحليل الإحصائي والاستنتاج. على سبيل المثال، يمكن للمستثمرين استخدام نظرية الحد المركزي لتجميع بيانات أداء الأوراق المالية الفردية وتوليد توزيع لعينات المتوسطات التي تمثل توزيعًا أكبر للسكان لعوائد الأوراق المالية على فترة زمنية.
ما هي صيغة نظرية الحد المركزي؟
لا تحتوي نظرية الحد المركزي على صيغة تُستخدم في تطبيقها العملي. يتم تطبيق مبدأها ببساطة. مع حجم عينة كبير بما فيه الكفاية، ستقترب توزيع العينة من التوزيع الطبيعي، وسيقترب متوسط العينة من متوسط المجتمع. تشير النظرية إلى أنه إذا كان لدينا حجم عينة لا يقل عن 30، يمكننا البدء في تحليل البيانات كما لو كانت تتبع توزيعًا طبيعيًا.
لماذا يكون الحد الأدنى لحجم العينة في نظرية الحد المركزي 30؟
حجم العينة الذي يبلغ 30 أو أكثر هو شائع إلى حد ما في الإحصائيات كحد أدنى لتطبيق نظرية الحد المركزي. كلما زاد حجم عينتك، زادت احتمالية أن تكون العينة ممثلة لمجموعة السكان الخاصة بك.
ما هو قانون الأعداد الكبيرة؟
في نظرية الاحتمالات والإحصاء، ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما زاد حجم العينة، زادت احتمالية أن يعكس متوسطها متوسط المجتمع بأكمله.
في عالم الأعمال، يمكن أن يكون لقانون الأعداد الكبيرة معنى مختلف، وهو أنه كلما زاد حجم الشركة، يصبح الحفاظ على معدل نموها من حيث النسبة المئوية أكثر صعوبة.
الخلاصة
ينص مبدأ الحد المركزي (CLT) على أنه كلما زاد حجم العينة، فإن متوسطها سيقترب بشكل متزايد من المتوسط في التوزيع الطبيعي. يمكن أن يكون هذا المفهوم مفيدًا في العديد من التطبيقات، مثل تحليل عوائد الاستثمار، لأنه يتطلب فقط حجم عينة كافٍ (يُفسر عمومًا على أنه 30 نقطة بيانات أو أكثر) بدلاً من الحاجة إلى دراسة المجتمع بأكمله.