ما هو الاحتمال المشترك؟
يشير مصطلح الاحتمال المشترك إلى مقياس إحصائي يحسب احتمال حدوث حدثين معًا وفي نفس الوقت. ببساطة، الاحتمال المشترك هو احتمال حدوث الحدث Y في نفس الوقت الذي يحدث فيه الحدث X. لكي يعمل الاحتمال المشترك، يجب أن يكون كلا الحدثين مستقلين عن بعضهما البعض، مما يعني أنهما ليسا مشروطين أو لا يعتمدان على بعضهما البعض. يمكن تصور الاحتمالات المشتركة باستخدام مخططات فين.
النقاط الرئيسية
- الاحتمال المشترك هو مقياس إحصائي يُستخدم لحساب احتمالية حدوث حدثين في نفس الوقت.
- يجب أن يكون كلا الحدثين مستقلين عن بعضهما البعض.
- يُطلق على الاحتمال المشترك أيضًا تقاطع حدثين أو أكثر.
- يختلف عن الاحتمال الشرطي، الذي يشير إلى احتمال حدوث حدث معين عندما يحدث حدث آخر.
- يمكنك تصور الاحتمالات المشتركة باستخدام مخططات فين.
صيغة وحساب الاحتمال المشترك
يمكن أن تأخذ تدوينات الاحتمال المشترك عدة أشكال مختلفة. تمثل الصيغة التالية احتمال تقاطع الأحداث:
P (X ⋂ Y) حيث: X، Y = حدثان مختلفان يتقاطعان P (X و Y)، P (XY) = الاحتمال المشترك لـ X و Y
P (X ⋂ Y) حيث: X، Y = حدثان مختلفان يتقاطعان P (X و Y)، P (XY) = الاحتمال المشترك لـ X و Y
ماذا تخبرك الاحتمالية المشتركة؟
الاحتمالات هو مجال يرتبط بشكل وثيق بالإحصاءات، حيث يتعامل مع احتمالية حدوث حدث أو ظاهرة معينة. يتم التعبير عن الاحتمالية كرقم بين 0 و1، حيث يشير 0 إلى استحالة حدوث الحدث، بينما يدل 1 على التأكد من حدوثه.
على سبيل المثال، احتمال سحب بطاقة حمراء من مجموعة بطاقات هو 1/2 = 0.5. هذا يعني أن هناك فرصة متساوية لسحب بطاقة حمراء أو سوداء نظرًا لوجود 26 بطاقة من كل لون في المجموعة. وبالتالي، هناك احتمال 50-50 لسحب بطاقة حمراء مقابل بطاقة سوداء.
تقيس الاحتمالية المشتركة حدثين يحدثان في نفس الوقت. يمكن تطبيقها فقط في الحالات التي يمكن أن تحدث فيها أكثر من ملاحظة في نفس الوقت. لذا فإن الاحتمالية المشتركة لاختيار بطاقة تكون حمراء و6 من مجموعة أوراق اللعب هي P(6 ∩ red) = 2/52 = 1/26 نظرًا لأن مجموعة أوراق اللعب تحتوي على اثنين من الستات الحمراء—الستة من القلوب والستة من الألماس. نظرًا لأن الحدثين الأحمر و6 مستقلان، يمكنك أيضًا استخدام الصيغة التالية لحساب الاحتمالية المشتركة:
احتمال الحصول على الرقم 6 واللون الأحمر يساوي احتمال الحصول على الرقم 6 مضروبًا في احتمال الحصول على اللون الأحمر، وهو يساوي 4 على 52 مضروبًا في 26 على 52، مما يساوي 1 على 26.
الرمز "∩" في الاحتمال المشترك يُشار إليه بالتقاطع. احتمال حدوث الحدث X والحدث Y هو نفس الشيء كنقطة يتقاطع فيها X وY. لذلك، يُطلق على الاحتمال المشترك أيضًا تقاطع حدثين أو أكثر. يُعتبر مخطط فن ربما أفضل أداة بصرية لشرح التقاطع:
من الرسم البياني فين أعلاه، النقطة التي يتداخل فيها كلا الدائرتين هي التقاطع، والذي يحتوي على ملاحظتين: الستة من القلوب والستة من الألماس.
الاحتمال المشترك مقابل الاحتمال الشرطي
لا ينبغي الخلط بين الاحتمال المشترك والاحتمال الشرطي، وهو احتمال حدوث حدث معين بشرط حدوث حدث أو إجراء آخر. صيغة الاحتمال الشرطي هي كما يلي:
P(X، معطى Y) أو P(X | Y) P(X، معطى Y) أو P(X | Y) P(X، معطى Y) أو P(X | Y)
هذا يعني أن احتمال حدوث حدث معين يعتمد على حدوث حدث آخر. على سبيل المثال، من مجموعة أوراق اللعب، فإن احتمال الحصول على الرقم ستة، بشرط أنك سحبت بطاقة حمراء، هو P(6│red) = 2/26 = 1/13، حيث يوجد اثنان من الرقم ستة من بين 26 بطاقة حمراء.
تأخذ الاحتمالية المشتركة في الاعتبار فقط احتمال حدوث كلا الحدثين. يمكن استخدام الاحتمالية الشرطية لحساب الاحتمالية المشتركة، كما هو موضح في هذه الصيغة:
P(X ∩ Y) = P(X ∣ Y) × P(Y)
احتمال حدوث X و Y معًا يساوي احتمال حدوث X بشرط حدوث Y مضروبًا في احتمال حدوث Y.
احتمال حدوث A و B هو احتمال حدوث X بشرط حدوث Y مضروبًا في احتمال حدوث Y. بناءً على هذه الصيغة، سيكون احتمال سحب الرقم 6 واللون الأحمر في نفس الوقت كما يلي:
احتمال الحصول على الرقم 6 وتقاطع اللون الأحمر يساوي احتمال الحصول على الرقم 6 بشرط أن يكون اللون أحمر مضروبًا في احتمال اللون الأحمر.
إذًا، ( P(6 \cap \text{red}) = P(6|\text{red}) \times P(\text{red}) ).
نحسب ذلك كالتالي:
( 1/13 \times 26/52 = 1/13 \times 1/2 = 1/26 ).
وبالتالي، احتمال الحصول على الرقم 6 واللون الأحمر معًا هو 1/26.
يستخدم الإحصائيون والمحللون الاحتمال المشترك كأداة عندما يمكن أن تحدث حدثان أو أكثر يمكن ملاحظتهما في نفس الوقت. على سبيل المثال، يمكن استخدام الاحتمال المشترك لتقدير احتمالية انخفاض مؤشر داو جونز الصناعي (DJIA) مصحوبًا بانخفاض في سعر سهم مايكروسوفت، أو فرصة ارتفاع قيمة النفط في نفس الوقت الذي يضعف فيه الدولار الأمريكي.
تعتمد الاحتمالية المشتركة على أن يكون الحدثان مستقلين عن بعضهما البعض. لتحديد ما إذا كانا مستقلين حقًا، من المهم التأكد مما إذا كانت نتيجة أحدهما تؤثر على الآخر. إذا كان الأمر كذلك، فإنهما يعتبران معتمدين، مما يعني أنهما يؤديان إلى الاحتمالية الشرطية. أما إذا لم يكن الأمر كذلك، فإنك تحصل على الاحتمالية المشتركة.
مثال على الاحتمال المشترك
لنلقِ نظرة على مثال آخر لتوضيح كيفية عمل الاحتمال المشترك. يستخدم هذا المثال النرد ونريد معرفة ما هو احتمال أن تحصل على رقم أربعة على كل نرد عند رميهما. تذكر أن لكل نرد ستة أوجه.
لتحديد الاحتمال المشترك، نحتاج أولاً إلى تحديد احتمال كل رمية:
- فرصة الحصول على الرقم ثلاثة عند رمي النرد الأول هي 1/6.
- فرصة الحصول على الرقم ثلاثة عند رمي النرد الثاني هي 1/6
الآن يمكننا استخدام صيغة الاحتمال المشترك المذكورة أعلاه لمعرفة ما هو الاحتمال المشترك لهذا الحدث عن طريق ضرب كل حدث فردي معًا.
واحد على ستة مضروب في واحد على ستة يساوي واحد على ستة وثلاثين.
هذا يعني أن هناك احتمال 1/36 للحصول على رقمين أربعة عند رمي زوج من النرد.
ما هو الغرض من الاحتمال المشترك؟
الاحتمال المشترك هو مقياس إحصائي يخبرك باحتمالية حدوث حدثين في نفس الوقت. يمكنك استخدامه لتحديد
ما هي الشروط للاحتمال المشترك؟
يجب توافر شروط معينة لحدوث الاحتمال المشترك. الشرط الأول هو أن الحدثين المعنيين يجب أن يحدثا في نفس الوقت. شرط آخر هو أن كلا الحدثين يجب أن يحدثا بشكل مستقل عن بعضهما البعض. وبالتالي، لا يمكن أن تؤثر النتائج على بعضها البعض.
هل يمكن أن تكون الاحتمالية المشتركة أكبر من 1؟
لا، لا يمكن أن تكون الاحتمالية المشتركة أكبر من 1. تقع الاحتمالية المشتركة بين 0 و1، حيث يشير 0 إلى أن احتمال حدوث حدثين في نفس الوقت مستحيل، بينما يشير 1 إلى أن نتيجتهما مؤكدة.
الخلاصة
تشير الاحتمالية إلى مدى احتمال حدوث حدث معين. ولكن عندما يكون هناك متغيران متورطان، قد يكون لديك احتمال مشترك. هذا مقياس إحصائي يمكن أن يخبرك ما إذا كان من المحتمل أن تحدث حدثان مستقلان في نفس الوقت. إنه مقياس مهم للإحصائيين الذين يستخدمونه لتحديد العلاقات بين مجموعتين من المتغيرات، مثل عوائد شركتين مختلفتين أو الرياح القوية وهطول الأمطار في التنبؤات الجوية. ولكن هناك شيء واحد لا يشير إليه، وهو كيفية تأثير الاثنين على بعضهما البعض.