تعريف العلاقة الخطية، الصيغة، والأمثلة

ما هي العلاقة الخطية؟

العلاقة الخطية (أو الارتباط الخطي) هو مصطلح في الإحصاء يُستخدم لوصف العلاقة الخطية بين متغيرين. يمكن التعبير عن العلاقات الخطية إما في شكل رسومي حيث يتم ربط المتغير والثابت عبر خط مستقيم، أو في شكل رياضي حيث يتم ضرب المتغير المستقل بمعامل الميل، ويضاف إليه ثابت، مما يحدد المتغير التابع.

يمكن مقارنة العلاقة الخطية مع العلاقة متعددة الحدود أو العلاقة غير الخطية (المنحنية).

النقاط الرئيسية

• العلاقة الخطية (أو الارتباط الخطي) هو مصطلح إحصائي يُستخدم لوصف العلاقة الخطية المباشرة بين متغيرين.
• يمكن التعبير عن العلاقات الخطية إما في شكل رسومي أو كمعادلة رياضية بالشكل ( y = mx + b )، حيث ( y ) تمثل المتغير التابع، و( m ) تمثل الميل، و( x ) تمثل المتغير المستقل، و( b ) تمثل نقطة التقاطع مع المحور y.
• العلاقات الخطية شائعة إلى حد ما في الحياة اليومية.

صيغة العلاقة الخطية

رياضيًا، العلاقة الخطية هي تلك التي تحقق المعادلة:

( y = mx + b ) حيث:
( m = ) الميل
( b = ) نقطة التقاطع مع المحور y

حيث:
( y = mx + b )
و
( m = ) الميل
( b = ) نقطة التقاطع مع المحور y

في هذه المعادلة، "x" و "y" هما متغيران مرتبطان بالمعاملات "m" و "b". بيانيًا، y = mx + b يتم تمثيلها في مستوى x-y كخط مستقيم مع ميل "m" وقطع y "b". القطع y "b" هو ببساطة قيمة "y" عندما تكون x=0. يتم حساب الميل "m" من أي نقطتين فرديتين (x1, y1) و (x2, y2) كالتالي:

الميل m يساوي الفرق بين قيمتي y للنقطتين مقسومًا على الفرق بين قيمتي x للنقطتين.

المعادلة تعبر عن ميل الخط المستقيم، حيث يتم حساب الميل ( m ) باستخدام الفرق بين الإحداثيات الرأسية ( y_2 - y_1 ) مقسومًا على الفرق بين الإحداثيات الأفقية ( x_2 - x_1 ).

ماذا يخبرك عن العلاقة الخطية؟

هناك ثلاث مجموعات من المعايير الضرورية التي يجب أن تفي بها المعادلة لكي تُعتبر معادلة خطية: لا يمكن أن تتكون المعادلة التي تعبر عن علاقة خطية من أكثر من متغيرين، ويجب أن تكون جميع المتغيرات في المعادلة مرفوعة إلى القوة الأولى، ويجب أن ترسم المعادلة كخط مستقيم.

العلاقة الخطية الشائعة الاستخدام هي الارتباط، الذي يصف مدى قرب تغير متغير واحد بطريقة خطية بالنسبة لتغيرات متغير آخر.

في الاقتصاد القياسي، يُعتبر الانحدار الخطي طريقة شائعة الاستخدام لإنشاء علاقات خطية لشرح ظواهر مختلفة. يُستخدم بشكل شائع في استقراء الأحداث من الماضي لعمل توقعات للمستقبل. ومع ذلك، ليست كل العلاقات خطية. بعض البيانات تصف علاقات منحنية (مثل العلاقات متعددة الحدود) بينما لا يمكن تحديد بعض البيانات الأخرى بمعايير محددة.

الدوال الخطية

مشابه رياضيًا للعلاقة الخطية هو مفهوم الدالة الخطية. في متغير واحد، يمكن كتابة الدالة الخطية كما يلي:

الدالة ( f(x) = mx + b ) حيث:

• ( m ) هو الميل
• ( b ) هو نقطة التقاطع مع المحور y

الدالة هي: ( f(x) = mx + b )

حيث:

• ( m ) هو الميل
• ( b ) هو نقطة التقاطع مع المحور y

هذا مطابق للصيغة المعطاة لعلاقة خطية باستثناء أن الرمز f(x) يُستخدم بدلاً من y. يتم إجراء هذا الاستبدال لتسليط الضوء على المعنى بأن x يتم تحويله إلى f(x)، بينما استخدام y يشير ببساطة إلى أن x وy هما كميتان مرتبطتان بواسطة A وB.

في دراسة الجبر الخطي، يتم دراسة خصائص الدوال الخطية بشكل مكثف ويتم جعلها دقيقة. بالنظر إلى عدد ثابت C ومتجهين A و B من RN، فإن التعريف الأكثر عمومية للدالة الخطية ينص على أن:

عندما يكون لدينا عدد ثابت c ودالة خطية f، فإن:

c مضروبًا في f للمتجه (A + B) يساوي c مضروبًا في f للمتجه A زائد c مضروبًا في f للمتجه B.

أي أن: c × f(A + B) = c × f(A) + c × f(B).

أمثلة على العلاقات الخطية

مثال 1

العلاقات الخطية شائعة جدًا في الحياة اليومية. لنأخذ مفهوم السرعة كمثال. الصيغة التي نستخدمها لحساب السرعة هي كما يلي: معدل السرعة هو المسافة المقطوعة مقسومة على الزمن. إذا كان شخص ما يقود سيارة ميني فان بين ساكرامنتو وماريزفيل في كاليفورنيا، وهي مسافة 44.1 ميل على الطريق السريع 99، واستغرقت الرحلة الكاملة حوالي 45 دقيقة، فسيكون قد سافر بسرعة أقل بقليل من 60 ميل في الساعة.

بينما توجد أكثر من متغيرين في هذه المعادلة، إلا أنها لا تزال معادلة خطية لأن أحد المتغيرات سيكون دائمًا ثابتًا (المسافة).

مثال 2

يمكن أيضًا العثور على علاقة خطية في المعادلة المسافة = السرعة × الزمن. نظرًا لأن المسافة هي رقم موجب (في معظم الحالات)، فإن هذه العلاقة الخطية ستُعبر عنها في الربع العلوي الأيمن من الرسم البياني الذي يحتوي على محور X ومحور Y.

إذا كانت الدراجة المصممة لشخصين تسير بمعدل 30 ميلاً في الساعة لمدة 20 ساعة، فإن الراكب سينتهي به الأمر بالسفر لمسافة 600 ميل. ممثلة بيانيًا مع المسافة على المحور Y والوقت على المحور X، فإن الخط الذي يتتبع المسافة على مدار تلك الـ 20 ساعة سيتحرك بشكل مستقيم من التقارب بين المحور X والمحور Y.

مثال 3

لتحويل درجة الحرارة من مئوية إلى فهرنهايت أو من فهرنهايت إلى مئوية، يمكنك استخدام المعادلات أدناه. تعبر هذه المعادلات عن علاقة خطية على الرسم البياني:

درجة مئوية (°C) تساوي خمسة على تسعة (5/9) مضروبة في الفرق بين درجة فهرنهايت (°F) واثنين وثلاثين (32).

درجة فهرنهايت = (9/5) درجة مئوية + 32

درجة فهرنهايت = 59 درجة مئوية + 32

مثال 4

افترض أن المتغير المستقل هو حجم المنزل (كما يُقاس بالقدم المربع) الذي يحدد السعر السوقي للمنزل (المتغير التابع) عندما يُضرب في معامل الميل 207.65 ثم يُضاف إلى الحد الثابت 10,500 دولار. إذا كانت مساحة المنزل 1,250 قدم مربع، فإن القيمة السوقية للمنزل تكون (1,250 × 207.65) + 10,500 دولار = 270,062.50 دولار. يظهر ذلك بيانيًا ورياضياً كما يلي:

في هذا المثال، مع زيادة حجم المنزل، تزداد القيمة السوقية للمنزل بشكل خطي.

يمكن تسمية بعض العلاقات الخطية بين كائنين بـ "العلاقة التناسبية". تظهر هذه العلاقة كـ

Y = k × X حيث:
k = ثابت
Y, X = كميات متناسبة

حيث:
k = ثابت
Y, X = كميات متناسبة

عند تحليل البيانات السلوكية، نادرًا ما يوجد علاقة خطية مثالية بين المتغيرات. ومع ذلك، يمكن العثور على خطوط الاتجاه في البيانات التي تشكل نسخة تقريبية من العلاقة الخطية. على سبيل المثال، يمكنك النظر إلى مبيعات الآيس كريم اليومية ودرجة الحرارة اليومية العالية كمتغيرين في الرسم البياني والعثور على علاقة خطية تقريبية بينهما.

ما هو العلاقة الخطية الإيجابية؟

يتم تمثيل العلاقة الخطية الإيجابية بخط صاعد على الرسم البياني. وهذا يعني أنه إذا زادت إحدى المتغيرات، فإن المتغير الآخر يزداد أيضًا. وعلى العكس من ذلك، فإن العلاقة الخطية السلبية ستظهر بخط هابط على الرسم البياني. إذا زادت إحدى المتغيرات، فإن المتغير الآخر ينخفض.

ما هي العلاقة غير الخطية؟

يمكن رؤية العلاقة غير الخطية من خلال الرسوم البيانية المبعثرة على الرسم البياني التي تتبع نمطًا معينًا، ولكن هذا النمط ليس خطيًا، مما يعني أن التمثيل ليس خطًا مستقيمًا.

ما هو مثال على العلاقة الخطية في الإحصاء؟

مثال على العلاقة الخطية هو العامل الذي يتقاضى أجرًا بالساعة. كلما زادت ساعات العمل، زاد المال الذي يتلقاه. ستكون هذه العلاقة خطية حيث أن كل زيادة في ساعة العمل ستتوافق مع نفس الزيادة في الأجر.

الخلاصة

العلاقة الخطية في الإحصاء تُظهر علاقة خط مستقيم بين متغيرين. وهي عادةً تُظهر مدى ارتباط المتغيرين ببعضهما البعض. على الرغم من أن أي علاقة سلوكية ليست مثالية بما يكفي لتوليد علاقة خطية حقيقية، إلا أن الاتجاهات عادةً ما تُوجد في البيانات لافتراض وجود واحدة.