ما هو الانحراف المعياري المتبقي؟
الانحراف المعياري المتبقي هو مصطلح إحصائي يُستخدم لوصف الفرق في الانحرافات المعيارية بين القيم الملاحظة والقيم المتوقعة كما يظهر من خلال النقاط في تحليل الانحدار.
تحليل الانحدار هو طريقة تُستخدم في الإحصاء لإظهار العلاقة بين متغيرين مختلفين، ولتوضيح مدى قدرتك على التنبؤ بسلوك متغير واحد بناءً على سلوك متغير آخر.
يُشار إلى الانحراف المعياري المتبقي أيضًا بالانحراف المعياري للنقاط حول خط ملائم أو الخطأ المعياري للتقدير.
النقاط الرئيسية
- الانحراف المعياري المتبقي هو الانحراف المعياري للقيم المتبقية، أو الفرق بين مجموعة من القيم الملاحظة والقيم المتوقعة.
- الانحراف المعياري للمخلفات يحسب مدى انتشار نقاط البيانات حول خط الانحدار.
- تُستخدم النتيجة لقياس خطأ القدرة التنبؤية لخط الانحدار.
- كلما كان الانحراف المعياري المتبقي أصغر مقارنة بالانحراف المعياري للعينة، كان النموذج أكثر تنبؤًا أو فائدة.
فهم الانحراف المعياري المتبقي
الانحراف المعياري المتبقي هو مقياس لجودة الملاءمة يمكن استخدامه لتحليل مدى توافق مجموعة من النقاط البيانية مع النموذج الفعلي. في سياق الأعمال، على سبيل المثال، بعد إجراء تحليل الانحدار على نقاط بيانات متعددة للتكاليف على مر الزمن، يمكن أن يوفر الانحراف المعياري المتبقي لصاحب العمل معلومات حول الفرق بين التكاليف الفعلية والتكاليف المتوقعة، وفكرة عن مدى احتمال تباين التكاليف المتوقعة عن متوسط بيانات التكاليف التاريخية.
صيغة الانحراف المعياري المتبقي
المتبقي = (القيمة الفعلية - القيمة المقدرة)
الانحراف المعياري للمتبقي = الجذر التربيعي لمجموع (القيمة الفعلية - القيمة المقدرة) تربيع مقسومًا على (عدد النقاط في العينة ناقص 2)
حيث:
الانحراف المعياري للمتبقي = الانحراف المعياري للمتبقي
القيمة الفعلية = القيمة الملاحظة
القيمة المقدرة = القيمة المقدرة أو المتوقعة
عدد النقاط في العينة = عدد النقاط في المجتمع
كيفية حساب الانحراف المعياري المتبقي
لحساب الانحراف المعياري المتبقي، يجب أولاً حساب الفرق بين القيم المتوقعة والقيم الفعلية التي تتشكل حول خط ملائم. يُعرف هذا الفرق بالقيمة المتبقية أو ببساطة المتبقيات، أو المسافة بين نقاط البيانات المعروفة وتلك النقاط التي يتوقعها النموذج.
لحساب الانحراف المعياري المتبقي، قم بإدخال القيم المتبقية في معادلة الانحراف المعياري المتبقي لحل الصيغة.
مثال على الانحراف المعياري المتبقي
ابدأ بحساب القيم المتبقية. على سبيل المثال، بافتراض أن لديك مجموعة من أربع قيم مرصودة لتجربة غير مسماة، يوضح الجدول أدناه قيم y المرصودة والمسجلة للقيم المعطاة لـ x:
س
ص
1
1
2
4
3
6
4
7
إذا كانت المعادلة الخطية أو ميل الخط المتوقع من البيانات في النموذج معطى كالتالي: yest = 1× + 2 حيث yest = القيمة المتوقعة لـ y، يمكن إيجاد المتبقي لكل ملاحظة.
الباقي يساوي (y - yest)، لذلك بالنسبة للمجموعة الأولى، القيمة الفعلية لـ y هي 1 والقيمة المتوقعة yest المعطاة بواسطة المعادلة هي yest = 1(1) + 2 = 3. وبالتالي، فإن قيمة الباقي هي 1 - 3 = -2، وهي قيمة سالبة للباقي.
بالنسبة لمجموعة البيانات الثانية من النقاط x و y، يمكن حساب القيمة المتوقعة لـ y عندما تكون x تساوي 2 و y تساوي 4 على النحو التالي: 1 مضروبة في 2 زائد 2 تساوي 4.
في هذه الحالة، تكون القيم الفعلية والمتوقعة متطابقة، لذا ستكون قيمة المتبقي صفرًا. ستستخدم نفس العملية للوصول إلى القيم المتوقعة لـ y في مجموعتي البيانات المتبقيتين.
بمجرد حسابك للمخلفات لجميع النقاط باستخدام الجدول أو الرسم البياني، استخدم صيغة الانحراف المعياري للمخلفات.
بتوسيع الجدول أعلاه، تقوم بحساب الانحراف المعياري المتبقي:
س
ص
نعم****اختبار
المتبقي (y - y**est)**
مجموع كل بقايا مربعة، أو Σ(y - y_est)^2
1
1
3
-2
4
2
4
4
0
0
3
6
5
1
1
4
7
6
1
1
لاحظ أن مجموع المربعات المتبقية يساوي 6، وهو ما يمثل البسط في معادلة الانحراف المعياري المتبقي.
بالنسبة للجزء السفلي أو المقام في معادلة الانحراف المعياري المتبقي، n = عدد نقاط البيانات، وهو 4 في هذه الحالة. احسب المقام في المعادلة كالتالي:
- (عدد المتبقيات - 2) = (4 - 2) = 2
وأخيرًا، احسب الجذر التربيعي للنتائج:
- الانحراف المعياري المتبقي: الجذر التربيعي لـ (6/2) = الجذر التربيعي لـ 3 ≈ 1.732
يمكن أن يعطيك حجم المتبقي النموذجي فكرة عن مدى قرب تقديراتك بشكل عام. كلما كان الانحراف المعياري للمتبقي أصغر، كان التوافق بين التقدير والبيانات الفعلية أقرب. في الواقع، كلما كان الانحراف المعياري للمتبقي أصغر مقارنة بالانحراف المعياري للعينة، كان النموذج أكثر تنبؤًا أو فائدة.
يمكن حساب الانحراف المعياري المتبقي عند إجراء تحليل الانحدار، وكذلك عند إجراء تحليل التباين (ANOVA). عند تحديد حد الكمية القابلة للقياس (LoQ)، يُسمح باستخدام الانحراف المعياري المتبقي بدلاً من الانحراف المعياري.
ما هو نوع القياس الذي يمثله الانحراف المعياري المتبقي؟
الانحراف المعياري المتبقي هو مقياس لجودة الملاءمة يمكن استخدامه لتحليل مدى توافق مجموعة من النقاط البيانية مع النموذج الفعلي. جودة الملاءمة هي اختبار إحصائي يحدد مدى توافق بيانات العينة مع توزيع من مجتمع ذي توزيع طبيعي.
كيف يمكن استخدام الانحراف المعياري المتبقي في الأعمال التجارية؟
بعد إجراء تحليل الانحدار على نقاط بيانات متعددة للتكاليف على مر الزمن، يمكن للانحراف المعياري المتبقي أن يزوّد صاحب العمل بمعلومات حول الفرق بين التكاليف الفعلية والتكاليف المتوقعة. كما يمكن أن يعطي فكرة عن مدى تباين التكاليف المتوقعة عن متوسط بيانات التكاليف التاريخية.
كيف أحسب الانحراف المعياري المتبقي؟
أولاً، عليك حساب الفرق بين القيم المتوقعة والقيم الفعلية التي تتشكل حول خط ملائم. يُعرف هذا الفرق بالقيمة المتبقية، أو المتبقيات. لحساب الانحراف المعياري للمتبقيات، قم بإدخال المتبقيات في معادلة الانحراف المعياري للمتبقيات لحل الصيغة.
الخلاصة
الانحراف المعياري المتبقي هو مصطلح يُستخدم في الإحصاء. يصف الفرق في الانحرافات المعيارية بين القيم الملاحظة والقيم المتوقعة كما يظهر من خلال النقاط في تحليل الانحدار. يُظهر تحليل الانحدار العلاقة بين متغيرين مختلفين ويصف مدى قدرتك على التنبؤ بسلوك متغير واحد بناءً على سلوك متغير آخر.