ما هو التوزيع ذو الحدين؟
التوزيع ذو الحدين هو توزيع إحصائي يلخص احتمال أن تأخذ قيمة معينة واحدة من قيمتين مستقلتين تحت مجموعة معينة من المعايير أو الافتراضات.
الافتراضات الأساسية لتوزيع ذات الحدين هي أنه يوجد نتيجة واحدة فقط لكل تجربة، وكل تجربة لها نفس احتمال النجاح، وكل تجربة مستقلة أو غير مرتبطة بالتجارب الأخرى.
النقاط الرئيسية
- التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي إحصائي يلخص احتمالية أن يأخذ قيمة ما أحد قيمتين مستقلتين تحت مجموعة معينة من المعايير أو الافتراضات.
- الافتراضات الأساسية لتوزيع ذات الحدين هي أن هناك نتيجة واحدة فقط لكل تجربة، وأن كل تجربة لها نفس احتمال النجاح، وأن كل تجربة تكون متبادلة الاستبعاد أو مستقلة عن بعضها البعض.
- التوزيع ذو الحدين هو توزيع منفصل شائع الاستخدام في الإحصاء، على عكس التوزيع المستمر مثل التوزيع الطبيعي.
فهم التوزيع ذو الحدين
لبدء الأمر، يشير مصطلح "ثنائي الحدين" في توزيع ثنائي الحدين إلى مصطلحين - عدد النجاحات وعدد المحاولات. كل منهما لا قيمة له بدون الآخر.
توزيع ذات الحدين هو توزيع شائع توزيع منفصل يُستخدم في الإحصاء، على عكس التوزيع المستمر، مثل التوزيع الطبيعي. يعود السبب في ذلك إلى أن توزيع ذات الحدين يحسب فقط حالتين، وعادة ما يتم تمثيلهما كـ 1 (للنجاح) أو 0 (للفشل)، بالنظر إلى عدد من التجارب في البيانات. وبالتالي، يمثل توزيع ذات الحدين احتمال الحصول على x نجاحات في n تجارب، مع إعطاء احتمال نجاح p لكل تجربة.
توزيع ذات الحدين يلخص عدد التجارب أو الملاحظات، عندما يكون لكل تجربة نفس الاحتمال لتحقيق قيمة معينة. يحدد توزيع ذات الحدين احتمال ملاحظة عدد معين من النتائج الناجحة في عدد محدد من التجارب.
تحليل التوزيع ذو الحدين
يتم حساب القيمة المتوقعة أو المتوسط لتوزيع ثنائي الحدين عن طريق ضرب عدد التجارب (n) في احتمال النجاح (p)، أي n × p.
على سبيل المثال، القيمة المتوقعة لعدد مرات الحصول على الوجه في 100 محاولة من لعبة الوجه أو الكتاب هي 50، أو (100 × 0.5). مثال شائع آخر على التوزيع الثنائي هو تقدير فرص النجاح للاعب كرة السلة في الرميات الحرة، حيث 1 = تسجيل السلة و0 = الفشل في التسجيل.
يتم حساب دالة التوزيع ذات الحدين كما يلي:
احتمال حدوث x من n محاولات مع احتمال نجاح p هو:
P( x : n , p ) = (عدد التوافيق n من x) مضروبًا في (احتمال النجاح p مرفوعًا للقوة x) مضروبًا في (1 ناقص احتمال النجاح p) مرفوعًا للقوة (n ناقص x)
أين:
- ( n ) هو عدد المحاولات (الحوادث)
- x هو عدد التجارب الناجحة
- ( p ) هو احتمال النجاح في تجربة واحدة
- n C x هو التوليفة بين n و x. التوليفة هي عدد الطرق لاختيار عينة من x عناصر من مجموعة تحتوي على n عناصر متميزة حيث لا يهم الترتيب، ولا يُسمح بالتكرار. لاحظ أن nCx = n! / r! ( n − r ) ! )، حيث ! هو العامل (على سبيل المثال، 4! = 4 × 3 × 2 × 1).
متوسط التوزيع ذو الحدين هو np، والتباين في التوزيع ذو الحدين هو np (1 − p). عندما يكون p = 0.5، يكون التوزيع متماثل حول المتوسط، مثلما يحدث عند قلب عملة لأن احتمالات الحصول على وجه أو كتابة هي 50%، أو 0.5. عندما يكون p > 0.5، يكون منحنى التوزيع منحرفًا إلى اليسار. عندما يكون p < 0.5، يكون منحنى التوزيع منحرفًا إلى اليمين.
التوزيع ذو الحدين هو مجموع سلسلة من التجارب المستقلة والمتطابقة الموزعة وفقًا لتوزيع برنولي. في تجربة برنولي، يُقال إن التجربة عشوائية ولا يمكن أن يكون لها سوى نتيجتين محتملتين: النجاح أو الفشل.
على سبيل المثال، يُعتبر قلب العملة تجربة برنولي؛ حيث يمكن لكل تجربة أن تأخذ واحدة من قيمتين فقط (وجه العملة أو الكتابة)، وكل نجاح له نفس الاحتمال، ونتائج تجربة واحدة لا تؤثر على نتائج تجربة أخرى. توزيع برنولي هو حالة خاصة من توزيع ثنائي الحدين حيث يكون عدد التجارب n = 1.
مثال على التوزيع ذو الحدين
يتم حساب التوزيع ذو الحدين عن طريق ضرب احتمال النجاح مرفوعًا إلى قوة عدد النجاحات واحتمال الفشل مرفوعًا إلى قوة الفرق بين عدد النجاحات وعدد المحاولات. ثم، يتم ضرب الناتج في التوليفة بين عدد المحاولات والنجاحات.
على سبيل المثال، افترض أن كازينو أنشأ لعبة جديدة يمكن للمشاركين فيها وضع رهانات على عدد مرات ظهور الوجه أو الظهر في عدد محدد من رميات العملة. افترض أن أحد المشاركين يريد وضع رهان بقيمة 10 دولارات على أن هناك بالضبط ست مرات ظهور للوجه في 20 رمية للعملة. يريد المشارك حساب احتمال حدوث ذلك، ولذلك يستخدم حساب التوزيع ذو الحدين.
تم حساب الاحتمالية باستخدام المعادلة التالية: (20! / (6! × (20 - 6)!)) × (0.50)^6 × (1 - 0.50)^(20 - 6). وبالتالي، فإن احتمال الحصول على ستة رؤوس بالضبط عند رمي العملة 20 مرة هو 0.0369، أو 3.7%. كانت القيمة المتوقعة في هذه الحالة هي 10 رؤوس، لذا قام المشارك برهان سيء. يوضح الرسم البياني أدناه أن المتوسط هو 10 (القيمة المتوقعة)، وأن فرص الحصول على ستة رؤوس تقع في الذيل الأيسر باللون الأحمر. يمكنك أن ترى أن هناك فرصة أقل لحدوث ستة رؤوس مقارنة بسبعة، ثمانية، تسعة، 10، 11، 12، أو 13 رأسًا.
كيف يمكن استخدام هذا في التمويل؟ مثال: لنفترض أنك بنك، أو مقرض، يريد معرفة احتمالية تعثر مقترض معين حتى ثلاث منازل عشرية. ما هي احتمالات تعثر العديد من المقترضين بحيث يجعلون البنك غير قادر على الوفاء بالتزاماته؟ بمجرد استخدام دالة التوزيع الثنائي لحساب هذا الرقم، ستحصل على فكرة أفضل عن كيفية تسعير التأمين، وفي النهاية، كم من المال يجب إقراضه وكم يجب الاحتفاظ به كاحتياطي.
ما هو التوزيع ذو الحدين؟
التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي إحصائي يحدد احتمالية أن يأخذ قيمة معينة واحدة من قيمتين مستقلتين تحت مجموعة معينة من المعايير أو الافتراضات.
كيف يتم استخدام التوزيع ذو الحدين؟
يُستخدم هذا النمط من التوزيع في الإحصائيات ولكنه يحمل دلالات في التمويل ومجالات أخرى. قد تستخدمه البنوك لتقدير احتمالية تعثر مقترض معين، وتحديد مقدار المال الذي يمكن إقراضه، والمبلغ الذي يجب الاحتفاظ به كاحتياطي. كما يُستخدم أيضًا في صناعة التأمين لتحديد تسعير السياسات وتقييم المخاطر.
لماذا يعتبر التوزيع ذو الحدين مهمًا؟
يُستخدم التوزيع ذو الحدين لتحديد احتمال النجاح أو الفشل في استبيان أو تجربة تُكرر عدة مرات. هناك نتيجتان محتملتان فقط لهذا النوع من التوزيع. بشكل أوسع، يُعتبر التوزيع جزءًا مهمًا من تحليل مجموعات البيانات لتقدير جميع النتائج المحتملة للبيانات ومدى تكرار حدوثها. يُعد التنبؤ وفهم نجاح أو فشل النتائج أمرًا ضروريًا لتطوير الأعمال.
الخلاصة
التوزيع ذو الحدين هو توزيع إحصائي مهم يصف النتائج الثنائية (مثل رمي العملة، أو إجابة نعم/لا، أو حالة تشغيل/إيقاف). فهم خصائصه ووظائفه مهم لتحليل البيانات في سياقات مختلفة تتضمن نتيجة تأخذ واحدة من قيمتين مستقلتين.
له تطبيقات في العلوم الاجتماعية، والتمويل، والمصارف، والتأمين، ومجالات أخرى. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لتقدير ما إذا كان المقترض سيتخلف عن سداد قرض، أو ما إذا كان عقد الخيارات سينتهي في المال أو خارج المال، أو ما إذا كانت الشركة ستفشل أو تتجاوز تقديرات الأرباح.