ما هي دالة الكثافة الاحتمالية (PDF)؟
دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) هي تعبير يُستخدم في الإحصاء لتحديد احتمال حدوث نتيجة معينة. في هذه الدالة، الاحتمال هو النسبة المئوية لتوزيع مجموعة البيانات التي تقع بين معيارين. تُستخدم دالة الكثافة الاحتمالية بشكل شائع من قبل المحللين الماليين لفهم كيفية توزيع العوائد لتقييم المخاطر وتوقعات أسعار العوائد والاستثمارات.
النقاط الرئيسية
- دوال كثافة الاحتمال هي مقياس إحصائي يُستخدم لقياس احتمالية أن يكون للاستثمار عوائد تقع ضمن نطاق من القيم.
- يمكن للمحللين الماليين أيضًا استخدام ملف PDF للإشارة إلى المخاطر المرتبطة باستثمار معين.
- عادةً ما يتم رسم دوال الكثافة الاحتمالية (PDFs) على رسم بياني يشبه عادةً منحنى الجرس، حيث تقع البيانات أسفل المنحنى.
- يشير انحراف المنحنى عند أي من الطرفين إلى زيادة أو نقصان في المخاطر/المكافأة.
فهم دوال كثافة الاحتمال (PDFs)
تُستخدم الأدوات الإحصائية بشكل شائع من قبل الأشخاص في عالم الاستثمار. فهي مفيدة جدًا لتحليل وتحديد اتجاهات السوق بالإضافة إلى فهم المخاطر والعوائد المحتملة المرتبطة باستثمارات معينة. يتيح ذلك للمستثمرين والمهنيين الماليين اتخاذ قرارات أكثر استنارة حول كيفية استثمار أموالهم.
دالة الكثافة الاحتمالية هي قياس إحصائي لمدى تكرار وقوع عوائد الاستثمار ضمن نطاق محدد. يتم تصوير دوال الكثافة الاحتمالية عادةً على رسم بياني، حيث يشير منحنى الجرس العادي إلى مخاطر السوق المحايدة، بينما يشير المنحنى المنحرف في أي من الطرفين إلى زيادة أو نقصان في المخاطر والمكافآت.
الانحراف هو انحراف الجزء الأطول من المنحنى إلى اليمين أو اليسار:
- إذا تم تحريك المنحنى إلى اليسار مع وجود ذيل طويل على اليمين (انحراف إلى اليمين)، يعتبر المحللون أن ذلك يشير إلى وجود مكافأة أكبر في الاتجاه الصاعد.
- إذا كان منحرفًا إلى اليمين مع ذيل طويل إلى اليسار (انحراف إلى اليسار)، يقترح المحللون أن هناك خطرًا أكبر في الاتجاه النزولي.
توضح الصورة أدناه البيانات الموزعة بشكل طبيعي مع منحنى الجرس. يمثل متوسط البيانات الخط الموجود في المنتصف، والخطوط العمودية تمثل الانحرافات المعيارية، أو مدى بُعد البيانات عن المتوسط.
الخطان العموديان الأولان على جانبي المتوسط يوضحان أن 68.5% من البيانات تقع ضمن +/-1 انحراف معياري من المتوسط. لذا، إذا كانت هذه منحنى لعوائد الأسهم الموزعة بشكل طبيعي، سترى أن 68.5% من الوقت، تقع العوائد بين خطي -1 انحراف معياري و +1 انحراف معياري وأن مخاطر السوق محايدة (لا يوجد انحراف).
يمكن أن يتضمن حساب دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) ورسمها بيانيًا حسابات معدل المخاطرة المعقدة التي تستخدم المعادلات التفاضلية أو حساب التكامل. في الواقع، تتطلب حساب دالة الكثافة الاحتمالية استخدام الآلات الحاسبة البيانية أو حزم البرامج الإحصائية.
لا يمكن أن يكون لقيمة PDF قيمة سلبية.
مثال على دالة كثافة الاحتمال (PDF)
تقوم دالة الكثافة الاحتمالية بقياس المتغيرات المستمرة. ومع ذلك، من المهم ملاحظة أن عوائد الأسهم والاستثمارات ليست متغيرات عشوائية مستمرة بشكل عام. بل هي متقطعة. ومع ذلك، يفترض معظم المحللين الماليين أن العوائد والأسعار مستمرة حتى يتمكنوا من نمذجة الأداء وتحليل المخاطر.
في الصورة أدناه، تم ترتيب ورسم قيم مؤشر S&P 500 على مدى ثلاث سنوات. وكانت النتيجة منحنى جرسياً مع انحراف إلى اليمين، مما يشير إلى إمكانية تحقيق مكافأة أكبر على الجانب العلوي خلال ثلاث سنوات.
ماذا تخبرنا دالة كثافة الاحتمال (PDF)؟
تصف دالة كثافة الاحتمال (PDF) مدى احتمالية ملاحظة نتيجة معينة ناتجة عن عملية توليد البيانات. يمكن لدالة كثافة الاحتمال أن تخبرنا بالقيم الأكثر احتمالاً للظهور مقابل النتائج الأقل احتمالاً. سيتغير هذا بناءً على شكل وخصائص دالة كثافة الاحتمال.
ما هو مبرهنة الحد المركزي (CLT) وكيف تتعلق بتوزيعات الاحتمال (PDFs)؟
ينص مبرهنة النهاية المركزية (CLT) على أن توزيع متغير عشوائي في عينة سيبدأ في الاقتراب من التوزيع الطبيعي كلما زاد حجم العينة، بغض النظر عن الشكل الحقيقي للتوزيع. وبالتالي، نعلم أن قلب العملة هو عملية ثنائية، توصف بتوزيع ثنائي الحدين (وجه أو كتابة).
ومع ذلك، إذا أخذنا في الاعتبار عدة رميات للعملة، فإن احتمالات الحصول على أي مجموعة معينة من الوجه والنقش تبدأ في الاختلاف. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب العملة 10 مرات، فإن احتمالات الحصول على خمسة من كل نوع هي الأكثر احتمالاً، ولكن الحصول على 10 وجوه متتالية نادر للغاية. تخيل 1,000 رمية للعملة، حيث يقترب التوزيع من منحنى الجرس الطبيعي.
ما هو الفرق بين PDF و CDF؟
توضح دالة كثافة الاحتمال (PDF) القيم التي من المحتمل أن تظهر في عملية توليد البيانات في أي وقت معين أو لأي سحب معين. بينما تصور دالة التوزيع التراكمي (CDF) كيف تتجمع هذه الاحتمالات الهامشية، لتصل في النهاية إلى 100% (أو 1.0) من النتائج الممكنة. باستخدام دالة التوزيع التراكمي، يمكننا معرفة مدى احتمال أن تكون نتيجة متغير ما أقل من أو تساوي قيمة متوقعة معينة.
الخلاصة
دوال توزيع الاحتمالات (PDFs) تصف القيم المتوقعة للمتغيرات العشوائية المستمدة من عينة. يوضح شكل دالة توزيع الاحتمالات مدى احتمالية حدوث قيمة ملاحظة.
تميل أسعار الأسهم والعوائد إلى اتباع توزيع لوج-طبيعي بدلاً من التوزيع الطبيعي، مما يشير إلى أن الخسائر السلبية تحدث بشكل أكثر تكرارًا من المكاسب الكبيرة جدًا مقارنة بما قد يتوقعه التوزيع الطبيعي.