ما هو الانحدار الخطي المتعدد (MLR)؟
الانحدار الخطي المتعدد (MLR)، المعروف أيضًا ببساطة باسم الانحدار المتعدد، هو تقنية إحصائية تستخدم عدة متغيرات تفسيرية للتنبؤ بنتيجة متغير الاستجابة. الهدف من الانحدار الخطي المتعدد هو نمذجة العلاقة الخطية بين المتغيرات التفسيرية (المستقلة) والمتغيرات المستجيبة (التابعة). في جوهره، يُعتبر الانحدار المتعدد امتدادًا لانحدار المربعات الصغرى العادي (OLS) الانحدار لأنه يتضمن أكثر من متغير تفسيري واحد.
النقاط الرئيسية
- الانحدار الخطي المتعدد (MLR) هو تقنية إحصائية تستخدم عدة متغيرات تفسيرية للتنبؤ بنتيجة متغير الاستجابة.
- يُعرف أيضًا بالانحدار المتعدد،
- الانحدار المتعدد هو امتداد لانحدار الخط المستقيم (OLS) الذي يستخدم متغيرًا توضيحيًا واحدًا فقط.
- يُستخدم الانحدار الخطي المتعدد (MLR) بشكل واسع في الاقتصاد القياسي والاستدلال المالي.
- تُستخدم الانحدارات المتعددة لإجراء التنبؤات، وشرح العلاقات بين المتغيرات المالية، واختبار النظريات القائمة.
صيغة وحساب الانحدار الخطي المتعدد (MLR)
( y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + \beta_2 x_{i2} + \ldots + \beta_p x_{ip} + \epsilon )
حيث، بالنسبة للملاحظات ( i = n ):
- ( y_i ) هو المتغير التابع
- ( x_i ) هي المتغيرات التوضيحية
- ( \beta_0 ) هو نقطة تقاطع المحور ( y ) (الحد الثابت)
- ( \beta_p ) هي معاملات الميل لكل متغير توضيحي
- ( \epsilon ) هو مصطلح الخطأ في النموذج (المعروف أيضًا بالبواقي)
ما الذي يمكن أن تخبرك به الانحدارات الخطية المتعددة (MLR)؟
الانحدار الخطي البسيط هو دالة تتيح للمحلل أو الإحصائي إجراء توقعات حول متغير واحد بناءً على المعلومات المعروفة عن متغير آخر. يمكن استخدام الانحدار الخطي فقط عندما يكون لديك متغيران مستمران - متغير مستقل ومتغير تابع. المتغير المستقل هو المعامل الذي يُستخدم لحساب المتغير التابع أو النتيجة. يمتد نموذج الانحدار المتعدد ليشمل عدة متغيرات تفسيرية.
يعتمد نموذج الانحدار الخطي المتعدد (MLR) على الافتراضات التالية:
- يتم اختيار الملاحظات yi بشكل مستقل وعشوائي من المجتمع.
يفترض الانحدار الخطي المتعدد (MLR) وجود علاقة خطية بين المتغيرات التابعة والمستقلة، وأن المتغيرات المستقلة ليست مترابطة بشكل كبير، وأن تباين البواقي ثابت.
معامل التحديد (R-squared) هو مقياس إحصائي يُستخدم لقياس مدى قدرة التغير في النتائج على أن يُفسر بواسطة التغير في المتغيرات المستقلة. يزداد R2 دائمًا مع إضافة المزيد من المتنبئين إلى نموذج الانحدار المتعدد (MLR)، حتى وإن لم تكن المتنبئات مرتبطة بمتغير النتيجة.
لا يمكن استخدام R² بمفرده لتحديد المتغيرات المستقلة التي يجب تضمينها في النموذج والتي يجب استبعادها. يمكن أن يكون R² فقط بين 0 و1، حيث يشير 0 إلى أن النتيجة لا يمكن التنبؤ بها من أي من المتغيرات المستقلة، ويشير 1 إلى أن النتيجة يمكن التنبؤ بها بدون خطأ من المتغيرات المستقلة.
عند تفسير نتائج الانحدار المتعدد، تكون معاملات بيتا صالحة مع افتراض ثبات جميع المتغيرات الأخرى ("كل شيء آخر ثابت"). يمكن عرض نتائج الانحدار المتعدد بشكل أفقي كمعادلة، أو بشكل عمودي في صورة جدول.
مثال على كيفية استخدام الانحدار الخطي المتعدد (MLR)
كمثال، قد يرغب المحلل في معرفة كيف تؤثر حركة السوق على سعر شركة ExxonMobil (XOM). في هذه الحالة، ستكون المعادلة الخطية لها قيمة مؤشر S&P 500 كمتغير مستقل، أو متنبئ، وسعر XOM كمتغير تابع.
في الواقع، تتنبأ عوامل متعددة بالنتيجة لحدث ما. على سبيل المثال، يعتمد تحرك سعر شركة ExxonMobil على أكثر من مجرد أداء السوق بشكل عام. يمكن أن تؤثر عوامل أخرى مثل سعر النفط، ومعدلات الفائدة، وتحرك أسعار العقود الآجلة للنفط على سعر شركة ExxonMobil (XOM) وأسعار أسهم شركات النفط الأخرى. لفهم العلاقة التي تتواجد فيها أكثر من متغيرين، يتم استخدام الانحدار الخطي المتعدد (MLR).
يُستخدم الانحدار الخطي المتعدد (MLR) لتحديد علاقة رياضية بين عدة متغيرات عشوائية. بعبارة أخرى، يفحص الانحدار الخطي المتعدد كيف ترتبط عدة متغيرات مستقلة بمتغير تابع واحد. بمجرد تحديد كل من العوامل المستقلة للتنبؤ بالمتغير التابع، يمكن استخدام المعلومات حول المتغيرات المتعددة لإنشاء تنبؤ دقيق حول مستوى التأثير الذي تمتلكه على المتغير الناتج. يقوم النموذج بإنشاء علاقة في شكل خط مستقيم (خطي) يمثل أفضل تقريب لجميع نقاط البيانات الفردية.
بالإشارة إلى معادلة الانحدار الخطي المتعدد (MLR) المذكورة أعلاه، في مثالنا:
- yi = المتغير التابع—سعر XOM
- xi1 = معدلات الفائدة
- xi2 = سعر النفط
- xi3 = قيمة مؤشر S&P 500
- xi4= سعر العقود الآجلة للنفط
- B0 = نقطة التقاطع مع المحور y عند الزمن صفر
- B2 = قيمة المعامل الذي يقيس التغيير في المتغير التابع عند تغيير xi2—التغيير في سعر XOM عندما تتغير أسعار النفط.
تُحسب تقديرات المربعات الصغرى—B0، B1، B2...Bp—عادةً بواسطة برامج إحصائية. يمكن تضمين العديد من المتغيرات في نموذج الانحدار حيث يتم تمييز كل متغير مستقل برقم—1، 2، 3، 4...p.
يسمح نموذج الانحدار المتعدد للمحلل بالتنبؤ بالنتيجة بناءً على المعلومات المقدمة حول متغيرات تفسيرية متعددة. ومع ذلك، فإن النموذج ليس دائمًا دقيقًا تمامًا حيث يمكن أن يختلف كل نقطة بيانات قليلاً عن النتيجة المتوقعة من النموذج. يتم تضمين القيمة المتبقية، E، وهي الفرق بين النتيجة الفعلية والنتيجة المتوقعة، في النموذج لأخذ هذه الاختلافات الطفيفة في الاعتبار.
قمنا بتشغيل نموذج الانحدار السعري لشركة XOM من خلال برنامج حسابات إحصائية. وقد أعاد لنا هذا الناتج:
سيقوم المحلل بتفسير هذا الناتج ليعني أنه إذا تم تثبيت المتغيرات الأخرى، فإن سعر XOM سيزداد بنسبة 7.8% إذا ارتفع سعر النفط في الأسواق بنسبة 1%. كما يُظهر النموذج أن سعر XOM سينخفض بنسبة 1.5% بعد ارتفاع أسعار الفائدة بنسبة 1%. يشير معامل التحديد R2 إلى أن 86.5% من التغيرات في سعر سهم Exxon Mobil يمكن تفسيرها بالتغيرات في سعر الفائدة، وسعر النفط، وعقود النفط الآجلة، ومؤشر S&P 500.
الفرق بين الانحدار الخطي والانحدار المتعدد
الانحدار الخطي العادي (OLS) يقارن استجابة المتغير التابع عند حدوث تغيير في بعض المتغيرات التفسيرية. ومع ذلك، نادرًا ما يتم تفسير المتغير التابع بواسطة متغير واحد فقط. في هذه الحالة، يستخدم المحلل الانحدار المتعدد، الذي يحاول تفسير المتغير التابع باستخدام أكثر من متغير مستقل واحد.
يمكن أن تكون الانحدارات المتعددة خطية وغير خطية. تعتمد الانحدارات المتعددة الخطية (MLRs) على افتراض وجود علاقة خطية بين المتغيرات التابعة والمستقلة. كما تفترض عدم وجود ارتباط كبير بين المتغيرات المستقلة.
ما الذي يجعل الانحدار المتعدد متعددًا؟
يأخذ الانحدار المتعدد في الاعتبار تأثير أكثر من متغير توضيحي واحد على نتيجة معينة ذات اهتمام. يقوم بتقييم التأثير النسبي لهذه المتغيرات التوضيحية، أو المستقلة، على المتغير التابع مع إبقاء جميع المتغيرات الأخرى في النموذج ثابتة.
لماذا قد يستخدم المرء الانحدار المتعدد بدلاً من الانحدار البسيط بطريقة المربعات الصغرى (OLS)؟
نادراً ما يتم تفسير المتغير التابع بواسطة متغير واحد فقط. في مثل هذه الحالات، يستخدم المحلل الانحدار المتعدد، الذي يحاول تفسير المتغير التابع باستخدام أكثر من متغير مستقل واحد. ومع ذلك، يفترض النموذج أنه لا توجد ارتباطات كبيرة بين المتغيرات المستقلة.
هل يمكنني إجراء تحليل الانحدار المتعدد يدويًا؟
من غير المحتمل أن تكون نماذج الانحدار المتعدد بسيطة، حيث تصبح أكثر تعقيدًا عندما يتم تضمين المزيد من المتغيرات في النموذج أو عندما يزداد حجم البيانات المراد تحليلها. لتشغيل انحدار متعدد، من المحتمل أن تحتاج إلى استخدام برامج إحصائية متخصصة أو وظائف داخل برامج مثل Excel.
ماذا يعني أن يكون الانحدار المتعدد خطيًا؟
في الانحدار الخطي المتعدد، يقوم النموذج بحساب خط الانحدار الأفضل الذي يقلل من التباينات لكل من المتغيرات المدرجة كما يتعلق بالمتغير التابع. ولأنه يناسب خطًا، فإنه يعتبر نموذجًا خطيًا. هناك أيضًا نماذج انحدار غير خطية تتضمن متغيرات متعددة، مثل الانحدار اللوجستي، والانحدار التربيعي، ونماذج البروبيت.
كيف تُستخدم نماذج الانحدار المتعدد في التمويل؟
أي نموذج اقتصادي ينظر في أكثر من متغير قد يكون متعددًا. نماذج العوامل تقارن بين عاملين أو أكثر لتحليل العلاقات بين المتغيرات والأداء الناتج. نموذج فاما وفرينش ذو العوامل الثلاثة هو نموذج من هذا النوع يوسع من نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) بإضافة عوامل المخاطر المتعلقة بالحجم والقيمة إلى عامل المخاطر السوقية في CAPM (والذي هو بحد ذاته نموذج انحدار). من خلال تضمين هذين العاملين الإضافيين، يقوم النموذج بتعديل هذا الاتجاه المتفوق، مما يُعتقد أنه يجعله أداة أفضل لتقييم أداء المديرين.
الخلاصة
يُعتبر الانحدار الخطي المتعدد (MLR) أداة إحصائية تُستخدم للتنبؤ بنتيجة متغير بناءً على متغيرين توضيحيين أو أكثر. إذا كان هناك متغير واحد فقط يؤثر على المتغير التابع، فإن نموذج الانحدار الخطي البسيط يكون كافيًا. أما إذا كان هناك أكثر من عامل يؤثر على ذلك المتغير، فإن الانحدار الخطي المتعدد (MLR) يكون ضروريًا.
مثال كلاسيكي على ذلك هو العوامل المؤثرة في تقييم شركة في سوق الأسهم. عادةً ما يتأثر سعر سهم الشركة بمجموعة متنوعة من العوامل. في هذه الحالة، سيكون المتغير التابع هو سعر السهم، وهو الشيء الذي نحاول التنبؤ به، بينما ستكون المتغيرات المستقلة التفسيرية هي العوامل التي تؤثر عليه.