ما هو توزيع T؟
توزيع t، المعروف أيضًا باسم توزيع الطالب، هو دالة إحصائية تُنشئ توزيع احتمالي. يشبه توزيع t التوزيع الطبيعي بشكله الجرس، ولكنه يمتاز بذيلين أثقل. يُستخدم لتقدير معلمات المجتمع الإحصائي لأحجام العينات الصغيرة أو التباينات غير المعروفة. تمتلك توزيعات t فرصة أكبر للقيم المتطرفة مقارنة بالتوزيعات الطبيعية، ونتيجة لذلك، فإنها تمتلك ذيولًا أكثر سمكًا.
توزيع t هو الأساس لحساب اختبارات t في الإحصاء.
النقاط الرئيسية
- التوزيع t هو توزيع احتمالي مستمر لقيمة z عندما يتم استخدام الانحراف المعياري المقدر في المقام بدلاً من الانحراف المعياري الحقيقي.
- التوزيع t، مثل التوزيع الطبيعي، له شكل جرس ومتماثل، ولكنه يمتلك ذيولًا أثقل، مما يعني أنه يميل إلى إنتاج قيم تقع بعيدًا عن المتوسط الخاص به.
- تُستخدم اختبارات T في الإحصاء لتقدير الأهمية.
ماذا تخبرك التوزيعات T؟
يتم تحديد ثقل الذيل بواسطة معلمة في توزيع t تُسمى درجات الحرية، حيث تعطي القيم الأصغر ذيولًا أثقل، ومع القيم الأعلى يصبح توزيع t مشابهًا للتوزيع الطبيعي القياسي بمتوسط mean قدره 0 وانحراف معياري standard deviation قدره 1.
عندما يتم أخذ عينة مكونة من n ملاحظة من مجتمع موزع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط M وانحراف معياري D، فإن المتوسط الحسابي للعينة، m، والانحراف المعياري للعينة، d، سيختلفان عن M وD بسبب عشوائية العينة.
يمكن حساب درجة Z باستخدام الانحراف المعياري للسكان كالتالي: Z = (x – M)/D، وهذه القيمة تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط 0 وانحراف معياري 1. ولكن عند استخدام الانحراف المعياري المقدر، يتم حساب درجة t كالتالي: T = (m – M)/{d/sqrt(n)}، والفرق بين d وD يجعل التوزيع توزيع t بدرجات حرية (n - 1) بدلاً من التوزيع الطبيعي بمتوسط 0 وانحراف معياري 1.
مثال على كيفية استخدام توزيع T
خذ المثال التالي لكيفية استخدام توزيعات t في التحليل الإحصائي. أولاً، تذكر أن فترة الثقة للمتوسط هي نطاق من القيم، يتم حسابه من البيانات، يهدف إلى احتواء متوسط "السكان". هذه الفترة هي m ± t*d/الجذر التربيعي لـ(n)، حيث t هو قيمة حرجة من توزيع t.
على سبيل المثال، فإن فترة الثقة بنسبة 95% لمتوسط العائد لمؤشر داو جونز الصناعي (DJIA) في الأيام الـ 27 للتداول قبل 11 سبتمبر 2001، هي -0.33%، (± 2.055) مضروبة في 1.07 مقسومة على الجذر التربيعي لـ 27، مما يعطي متوسط عائد (مستمر) كرقم ما بين -0.75% و +0.09%. الرقم 2.055، وهو مقدار الأخطاء المعيارية للتعديل، يتم العثور عليه من توزيع t.
لأن توزيع t يتميز بذيلين أكثر سمكًا من التوزيع الطبيعي، يمكن استخدامه كنموذج للعوائد المالية التي تظهر زيادة في التفلطح (kurtosis)، مما يسمح بحساب أكثر واقعية لـ القيمة المعرضة للخطر (Value at Risk - VaR) في مثل هذه الحالات.
التوزيع الاحتمالي T مقابل التوزيع الاحتمالي الطبيعي
يتم استخدام التوزيعات الطبيعية عندما يُفترض أن توزيع السكان طبيعي. يشبه توزيع t التوزيع الطبيعي، ولكنه يتميز بذيلين أكثر سمكًا. كلاهما يفترض توزيعًا طبيعيًا للسكان. لذلك، فإن توزيعات t تتمتع بدرجة تقوس أعلى من التوزيعات الطبيعية. احتمال الحصول على قيم بعيدة جدًا عن المتوسط يكون أكبر مع توزيع t مقارنة بالتوزيع الطبيعي.
العادي مقابل توزيع t.
قيود استخدام توزيع T
يمكن أن يؤدي توزيع t إلى انحراف الدقة مقارنةً بالتوزيع الطبيعي. تظهر عيوبه فقط عندما تكون هناك حاجة إلى مثالية التوزيع الطبيعي. يجب استخدام توزيع t فقط عندما لا يكون الانحراف المعياري للسكان معروفًا. إذا كان الانحراف المعياري للسكان معروفًا وكان حجم العينة كبيرًا بما يكفي، فيجب استخدام التوزيع الطبيعي للحصول على نتائج أفضل.
ما هو توزيع t في الإحصاء؟
يُستخدم توزيع t في الإحصاء لتقدير معلمات المجتمع الإحصائي عندما تكون أحجام العينات صغيرة أو عندما تكون التباينات غير محددة. يُعرف أيضًا بتوزيع t للطالب.
متى يجب استخدام توزيع t؟
يجب استخدام توزيع t إذا كان حجم العينة السكانية صغيرًا وكان الانحراف المعياري غير معروف. إذا لم يكن كذلك، فيجب استخدام التوزيع الطبيعي.
ماذا يعني التوزيع الطبيعي؟
التوزيع الطبيعي هو مصطلح يشير إلى منحنى الجرس الاحتمالي bell curve. يُطلق عليه أيضًا التوزيع Gaussian distribution.
الخلاصة
يُستخدم توزيع t في الإحصاء لتقدير أهمية معلمات المجتمع الإحصائي عندما تكون أحجام العينات صغيرة أو عندما تكون التغيرات غير معروفة. مثل التوزيع الطبيعي، فإنه يأخذ شكل الجرس ويكون متماثلًا. على عكس التوزيعات الطبيعية، فإن توزيع t يتميز بذيلين أثقل، مما يزيد من احتمالية القيم المتطرفة.