تعريف
الكورتوسيس هو مقياس إحصائي يُستخدم لوصف خاصية من خصائص مجموعة البيانات.
ما هو التفرطح؟
الالتواء هو مقياس إحصائي يُستخدم لوصف خاصية من خصائص مجموعة البيانات. عندما يتم تمثيل البيانات الموزعة بشكل طبيعي على رسم بياني، فإنها تأخذ عادةً شكل الجرس. يُطلق على هذا الشكل منحنى الجرس. البيانات المرسومة التي تكون أبعد ما يكون عن المتوسط للبيانات عادةً ما تشكل الأطراف على كل جانب من المنحنى. يشير الالتواء إلى مقدار البيانات الموجودة في الأطراف.
النقاط الرئيسية
- يصف التفرطح "سماكة" الأطراف الموجودة في التوزيعات الاحتمالية.
- هناك ثلاث فئات للالتواء: الالتواء المتوسط (mesokurtic) وهو الطبيعي، والالتواء المسطح (platykurtic) وهو أقل من الطبيعي، والالتواء الحاد (leptokurtic) وهو أكثر من الطبيعي.
- يُعتبر خطر التفلطح مقياسًا لمدى تكرار تحرك سعر الاستثمار بشكل كبير.
- تخبرك خاصية التفرطح (kurtosis) للمنحنى بمدى وجود مخاطر التفرطح للاستثمار الذي تقوم بتقييمه.
فهم التفرطح
التفلطح هو مقياس للوزن المجمع لأطراف التوزيع بالنسبة إلى مركز منحنى التوزيع (المتوسط). على سبيل المثال، عندما يتم رسم مجموعة من البيانات التي تكون تقريبًا طبيعية عبر مخطط بياني، يظهر قمة على شكل جرس، حيث تقع معظم البيانات ضمن ثلاث انحرافات معيارية (زائد أو ناقص) من المتوسط. ومع ذلك، عندما يكون هناك تفلطح مرتفع، تمتد الأطراف إلى ما هو أبعد من ثلاث انحرافات معيارية للتوزيع الطبيعي المنحني على شكل جرس.
غالبًا ما يتم الخلط بين الالتواء وكونه مقياسًا لحدة قمة التوزيع. ومع ذلك، فإن الالتواء هو مقياس يصف شكل أطراف التوزيع بالنسبة إلى شكله العام. يمكن أن يكون التوزيع ذو قمة حادة مع التواء منخفض، ويمكن أن يكون التوزيع ذو قمة أقل حدة مع التواء مرتفع. وبالتالي، يقيس الالتواء "امتداد الأطراف"، وليس "حدة القمة".
التوزيعات ذات الكيرتوسيس الكبير تحتوي على بيانات في الأطراف أكثر من البيانات الموزعة بشكل طبيعي، مما يبدو أنه يجلب الأطراف نحو المتوسط. التوزيعات ذات الكيرتوسيس المنخفض تحتوي على بيانات أقل في الأطراف، مما يبدو أنه يدفع أطراف منحنى الجرس بعيدًا عن المتوسط.
بالنسبة للمستثمرين، فإن ارتفاع التفلطح في منحنى توزيع العوائد يعني أن هناك العديد من التقلبات السعرية في الماضي (سواء كانت إيجابية أو سلبية) بعيدًا عن متوسط العوائد للاستثمار. لذلك، قد يواجه المستثمر تقلبات سعرية شديدة مع استثمار يتمتع بتفلطح مرتفع. تُعرف هذه الظاهرة بمخاطر التفلطح.
صيغة وحساب التفرطح
الحساب باستخدام جداول البيانات
هناك عدة طرق مختلفة لحساب التفرطح. أبسط طريقة هي استخدام صيغة Excel أو Google Sheets. على سبيل المثال، افترض أن لديك بيانات العينة التالية: 4، 5، 6، 3، 4، 5، 6، 7، 5، و8 موجودة في الخلايا من A1 إلى A10 في جدول البيانات الخاص بك. تستخدم جداول البيانات هذه الصيغة لحساب التفرطح:
[ \frac{n(n + 1)}{(n - 1)(n - 2)(n - 3)} \times \left( \sum \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^4 - \frac{3(n - 1)^2}{(n - 2)(n - 3)} ]
هذه المعادلة تعبر عن عملية حسابية تتضمن عدة عوامل. الجزء الأول من المعادلة هو كسر يحتوي على ( n(n + 1) ) في البسط و ( (n - 1)(n - 2)(n - 3) ) في المقام. يتم ضرب هذا الكسر في مجموع القيم ( x_i ) مطروحًا منها المتوسط الحسابي ( \bar{x} ) مقسومًا على الانحراف المعياري ( s )، وكل ذلك مرفوع للقوة الرابعة. بعد ذلك، يتم طرح كسر آخر يحتوي على ( 3(n - 1)^2 ) في البسط و ( (n - 2)(n - 3) ) في المقام.
ومع ذلك، سنستخدم الصيغة التالية في Google Sheets، والتي تحسبها لنا، بافتراض أن البيانات موجودة في الخلايا من A1 إلى A10:
= KURT(A1:A10) \begin{aligned}&= \text{KURT(A1:A10)} \\\end{aligned} =KURT(A1:A10)
النتيجة هي تفرطح بقيمة -0.1518، مما يشير إلى أن المنحنى لديه ذيول أخف وهو مفلطح.
الحساب يدويًا
حساب التفرطح يدويًا هو عملية طويلة، ويتطلب عدة خطوات للوصول إلى النتائج. سنستخدم نقاط بيانات جديدة ونحد من عددها لتبسيط الحساب. نقاط البيانات الجديدة هي 27، 13، 17، 57، 113، و25.
من المهم ملاحظة أن حجم العينة يجب أن يكون أكبر بكثير من هذا؛ نحن نستخدم ستة أرقام لتقليل خطوات الحساب. كقاعدة عامة جيدة، يمكنك استخدام 30% من بياناتك للسكان الذين يقل عددهم عن 1,000. بالنسبة للسكان الأكبر، يمكنك استخدام 10%.
أولاً، تحتاج إلى حساب المتوسط. اجمع الأرقام وقسمها على ستة لتحصل على 42. بعد ذلك، استخدم الصيغ التالية لحساب مجموعين: s2 (مربع الانحراف عن المتوسط) وs4 (مربع الانحراف عن المتوسط المربع). لاحظ أن هذه الأرقام لا تمثل الانحراف المعياري؛ بل تمثل التباين لكل نقطة بيانات.
s2 = مجموع (yi - yˉ) تربيع
s4 = مجموع (yi - yˉ) أس 4
حيث:
yi = المتغير i من العينة
yˉ = متوسط العينة
لحساب s2، استخدم كل متغير، اطرح المتوسط، ثم قم بتربيع النتيجة. اجمع جميع النتائج معًا:
(27 - 42) تربيع يساوي (-15) تربيع يساوي 225
(13 - 42) تربيع يساوي (-29) تربيع يساوي 841
(17 - 42) تربيع يساوي (-25) تربيع يساوي 625
(57 - 42) تربيع يساوي (15) تربيع يساوي 225
(113 - 42) تربيع يساوي (71) تربيع يساوي 5,041
(25 - 42) تربيع يساوي (-17) تربيع يساوي 289
225 + 841 + 625 + 225 + 5,041 + 289 يساوي 7,246
(27 - 42) تربيع يساوي (-15) تربيع يساوي 225
(13 - 42) تربيع يساوي (-29) تربيع يساوي 841
(17 - 42) تربيع يساوي (-25) تربيع يساوي 625
(57 - 42) تربيع يساوي (15) تربيع يساوي 225
(113 - 42) تربيع يساوي (71) تربيع يساوي 5,041
(25 - 42) تربيع يساوي (-17) تربيع يساوي 289
225 + 841 + 625 + 225 + 5,041 + 289 يساوي 7,246
لحساب s4، استخدم كل متغير، اطرح المتوسط، وارفع النتيجة إلى القوة الرابعة. ثم اجمع جميع النتائج معًا:
(27 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-15) مرفوعة للقوة 4 تساوي 50,625
(13 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-29) مرفوعة للقوة 4 تساوي 707,281
(17 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-25) مرفوعة للقوة 4 تساوي 390,625
(57 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (15) مرفوعة للقوة 4 تساوي 50,625
(113 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (71) مرفوعة للقوة 4 تساوي 25,411,681
(25 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-17) مرفوعة للقوة 4 تساوي 83,521
50,625 + 707,281 + 390,625 + 50,625 + 25,411,681 + 83,521 تساوي 26,694,358
\begin{aligned}
&(27 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-15) مرفوعة للقوة 4 تساوي 50,625 \\
&(13 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-29) مرفوعة للقوة 4 تساوي 707,281 \\
&(17 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-25) مرفوعة للقوة 4 تساوي 390,625 \\
&(57 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (15) مرفوعة للقوة 4 تساوي 50,625 \\
&(113 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (71) مرفوعة للقوة 4 تساوي 25,411,681 \\
&(25 - 42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-17) مرفوعة للقوة 4 تساوي 83,521 \\
&50,625 + 707,281 + 390,625 + 50,625 + 25,411,681 \\
&+ 83,521 تساوي 26,694,358 \\
\end{aligned}
(27−42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-15) مرفوعة للقوة 4 تساوي 50,625
(13−42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-29) مرفوعة للقوة 4 تساوي 707,281
(17−42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-25) مرفوعة للقوة 4 تساوي 390,625
(57−42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (15) مرفوعة للقوة 4 تساوي 50,625
(113−42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (71) مرفوعة للقوة 4 تساوي 25,411,681
(25−42) مرفوعة للقوة 4 تساوي (-17) مرفوعة للقوة 4 تساوي 83,521
50,625 + 707,281 + 390,625 + 50,625 + 25,411,681 + 83,521 تساوي 26,694,358
إذن، مجموعاتنا هي:
s2 = 7,246 و s4 = 26,694,358
s2 = 7,246 و s4 = 26,694,358
s2 = 7,246 و s4 = 26,694,358
الآن، احسب m2 وm4، وهما اللحظتان الثانية والرابعة في صيغة التفرطح:
m2 = s2 n = 7,246 6 = 1,207.67
نبدأ بالمعادلة التالية:
m2 = (\frac{\text{s2}}{n})
نقوم بتعويض القيم:
= (\frac{7,246}{6})
= 1,207.67
وبذلك نحصل على القيمة النهائية لـ m2 وهي 1,207.67.
m4 = s4 n = 26,694,358 6 = 4,449,059.67
نبدأ بحساب m4:
m4 = (\frac{\text{s4}}{n})
= (\frac{26,694,358}{6})
= 4,449,059.67
يمكننا الآن حساب التفرطح باستخدام صيغة موجودة في العديد من كتب الإحصاء التي تفترض توزيعًا طبيعيًا تمامًا بتفرطح يساوي صفرًا:
k = (\frac{\text{m4}}{\text{m2}^2}) - 3 حيث:
k = التفلطح
m4 = العزم الرابع
m2 = العزم الثاني
التفلطح (k) يُحسب باستخدام المعادلة التالية:
k = (العزم الرابع (m4) مقسومًا على مربع العزم الثاني (m2)) ناقص 3.
حيث:
k = التفلطح
m4 = العزم الرابع
m2 = العزم الثاني
إذن، فإن التفرطح للعينات المتغيرة هو:
4,449,059.67 1,458,466.83 − 3 = 0.05
نبدأ بحساب النسبة:
( \frac{4,449,059.67}{1,458,466.83} - 3 = 0.05 )
1,458,466.83 4,449,059.67 − 3 = 0.05
أنواع التفرطح
هناك ثلاث فئات من التفلطح يمكن أن تظهرها مجموعة من البيانات: التفلطح المتوسط (mesokurtic)، التفلطح الحاد (leptokurtic)، والتفلطح المسطح (platykurtic). تتم مقارنة جميع مقاييس التفلطح بمنحنى التوزيع الطبيعي.
التفلطح.
ميسوكورتيك (التفلطح = 3.0)
الفئة الأولى من التفلطح هي توزيع mesokurtic. يتميز هذا التوزيع بتفلطح مشابه لتوزيع الطبيعي، مما يعني أن خاصية القيم المتطرفة في هذا التوزيع مشابهة لتلك الموجودة في التوزيع الطبيعي. لذلك، فإن السهم الذي يتمتع بتوزيع mesokurtic يعكس عادةً مستوى معتدل من المخاطر.
ليبتوكورتيك (التفلطح > 3.0)
الفئة الثانية هي التوزيع leptokurtic. أي توزيع يكون leptokurtic يظهر انحرافًا أكبر من التوزيع mesokurtic. يظهر هذا التوزيع كمنحنى ذو ذيول طويلة (قيم متطرفة). "نحافة" التوزيع leptokurtic هي نتيجة للقيم المتطرفة، التي تمد المحور الأفقي للرسم البياني المدرج التكراري، مما يجعل الجزء الأكبر من البيانات يظهر في نطاق عمودي ضيق ("نحيف").
عادةً ما يُظهر السهم ذو التوزيع اللفتوكورتيكي مستوى عالٍ من المخاطر ولكنه يوفر إمكانية تحقيق عوائد أعلى، لأن السهم عادةً ما يُظهر تحركات سعرية كبيرة.
مفلطح (التفلطح < 3.0)
النوع الأخير من التوزيع هو التوزيع المسطح. هذه الأنواع من التوزيعات تتميز بذيل قصير (عدد أقل من القيم المتطرفة). لقد أظهرت التوزيعات المسطحة استقرارًا أكبر مقارنة بالمنحنيات الأخرى لأن التحركات السعرية الشديدة نادرًا ما حدثت في الماضي. وهذا يترجم إلى مستوى أقل من المتوسط من المخاطر.
التفلطح مقابل الالتواء
الالتواء والانحراف هما مقياسان إحصائيان يُستخدمان لوصف شكل توزيع الاحتمالات، لكنهما يركزان على جوانب مختلفة. يقيس الالتواء مدى بروز الأطراف في التوزيع. يقيس الانحراف عدم التماثل في التوزيع.
يشير الالتواء إلى الاتجاه والدرجة التي تنحرف بها البيانات عن منحنى الجرس المتماثل. التوزيع الذي يكون فيه الالتواء صفراً يكون متماثلاً تماماً، مما يعني أن الجانبين الأيسر والأيمن من التوزيع هما صور مرآة لبعضهما البعض. الالتواء الإيجابي يعني أن الذيل الأيمن أطول أو أكثر سمكاً من الأيسر، مما يشير إلى أن البيانات تميل إلى أن تكون ذات قيم أعلى. يشير الالتواء السلبي إلى أن الذيل الأيسر أطول أو أكثر سمكاً، مما يعني وجود ميل نحو القيم الأدنى.
بينما يركز الالتواء على توازن البيانات حول المتوسط، يركز التفرطح على قمة التوزيع ووزن أطرافه. يمكن لمجموعة بيانات أن تتمتع بتفرطح عالٍ مع وجود العديد من القيم الشاذة ولكنها تظل متماثلة وبالتالي يكون لديها التواء صفري. من ناحية أخرى، يمكن لمجموعة بيانات أن تكون ملتوية إما بالتواء إيجابي أو سلبي ولكن لديها تفرطح منخفض، مما يشير إلى وجود عدد أقل من القيم المتطرفة.
استخدام التفرطح (Kurtosis)
يُستخدم التفرطح في التحليل المالي لقياس مخاطر تقلب الأسعار للاستثمار. يقيس التفرطح مقدار التقلب الذي شهدته أسعار الاستثمار بانتظام. يشير التفرطح العالي في توزيع العوائد إلى أن الاستثمار سيحقق عوائد متطرفة في بعض الأحيان. يجب أن تكون حذرًا لأن هذا يمكن أن يتأرجح في كلا الاتجاهين، مما يعني أن التفرطح العالي يشير إما إلى عوائد إيجابية كبيرة أو عوائد سلبية متطرفة.
على سبيل المثال، تخيل أن السهم كان لديه متوسط سعر يبلغ 25.85 دولارًا للسهم الواحد. إذا كان سعر السهم يتأرجح بشكل واسع ومتكرر، فإن منحنى الجرس سيكون له ذيول ثقيلة (ارتفاع في الكورتوسيس). هذا يعني أن هناك الكثير من التباين في سعر السهم—يجب على المستثمر أن يتوقع تقلبات واسعة في الأسعار بشكل متكرر.
من ناحية أخرى، يشير المحفظة ذات قيمة الكورتوسيس المنخفضة إلى ملف عائد أكثر استقرارًا وتوقعًا، مما قد يشير إلى مخاطر أقل. في هذا السياق، قد يسعى المستثمرون عمدًا إلى الاستثمارات ذات قيم الكورتوسيس المنخفضة عند بناء محافظ أكثر أمانًا وأقل تقلبًا.
يمكن استخدام الالتواء أيضًا لتنفيذ نهج تخصيص استثماري بشكل استراتيجي. على سبيل المثال، قد يفضل مدير المحفظة المتخصص في الاستثمار القيمي الاستثمار في الأصول ذات قيمة الالتواء السلبية، حيث تشير قيمة الالتواء السلبية إلى توزيع أكثر تسطحًا مع عوائد صغيرة متكررة. وعلى العكس، قد يفضل مدير المحفظة المتخصص في الاستثمار الزخمي الاستثمار في الأصول ذات قيمة الالتواء الإيجابية مع توزيعات ذات قمم لعوائد أقل تكرارًا ولكن أكبر.
التفلطح مقابل المقاييس الشائعة الأخرى
يختلف خطر التفرطح عن القياسات الأكثر شيوعًا. يقيس ألفا العائد الزائد بالنسبة إلى مؤشر معياري. بينما يقيس التفرطح طبيعة القمة أو تسطح التوزيع، يقيس ألفا الانحراف أو عدم التماثل في التوزيع.
بيتا تقيس تقلب السهم مقارنة بالسوق الأوسع. كل ورقة مالية أو استثمار لديه قيمة بيتا واحدة تشير إلى ما إذا كانت تلك الورقة المالية أكثر أو أقل تقلبًا مقارنة بمعيار السوق. مرة أخرى، تقيس بيتا درجة عدم التماثل في التوزيع، بينما تقيس الكورتوسيس مدى ارتفاع أو تسطح التوزيع.
يقيس R-squared النسبة المئوية للحركة التي يمكن تفسيرها في محفظة أو صندوق بواسطة معيار. على الرغم من أن R-squared يُستخدم في تحليل الانحدار لتقييم جودة ملاءمة نموذج الانحدار، فإن التفرطح يُستخدم في الإحصاءات الوصفية لوصف شكل التوزيع.
أخيرًا، يقارن نسبة شارب بين العائد والمخاطرة. تُستخدم نسبة شارب من قبل المستثمرين لفهم ما إذا كان مستوى العوائد التي يحصلون عليها يتناسب مع مستوى المخاطرة المتحملة. بينما يقوم التفلطح بتحليل توزيع مجموعة البيانات، تُستخدم نسبة شارب بشكل أكثر شيوعًا لتقييم أداء الاستثمار.
لماذا يعتبر التفلطح مهمًا؟
التفلطح يوضح مدى تكرار وقوع الملاحظات في بعض مجموعات البيانات في الأطراف مقابل المركز في توزيع الاحتمالات. في مجال التمويل والاستثمار، يُفسر التفلطح الزائد على أنه نوع من المخاطر يُعرف باسم مخاطر الذيل، أو احتمال حدوث خسارة نتيجة لحدث نادر، كما يتنبأ به توزيع الاحتمالات. إذا كانت مثل هذه الأحداث أكثر شيوعًا مما يتنبأ به التوزيع، يُقال إن الأطراف "سمينة".
كيف يتم استخدام التفرطح في التمويل؟
في المالية، يتم استخدام التفرطح لتقييم مخاطر العوائد المتطرفة في المحافظ الاستثمارية من خلال تحليل مدى امتداد توزيع العوائد. يشير التفرطح الأعلى إلى احتمال أكبر لحدوث انحرافات كبيرة عن المتوسط. وهذا يعني أن الاستثمار الذي يتمتع بتفرطح أعلى يكون أكثر عرضة للانحراف عن متوسط عوائده.
هل الكورتوسيس العالي جيد أم سيء؟
إن ارتفاع قيمة التفرطح (kurtosis) ليس جيدًا أو سيئًا بطبيعته؛ فهو يعتمد على السياق ومدى تحمل المستثمر للمخاطر. على سبيل المثال، يشير التفرطح العالي إلى وجود قيم متطرفة أو شاذة بشكل متكرر، مما قد يعني مخاطر أعلى وإمكانية لتحقيق مكاسب أو خسائر كبيرة. بالنسبة لبعض المستثمرين، قد يكون هذا جيدًا؛ بينما قد يكون سيئًا لآخرين.
ما هو التفلطح الزائد؟
يقارن التفلطح الزائد معامل التفلطح مع ذلك الخاص بالتوزيع الطبيعي. يُفترض أن معظم التوزيعات الطبيعية لديها تفلطح يساوي ثلاثة، لذا فإن التفلطح الزائد سيكون أكثر أو أقل من ثلاثة. ومع ذلك، تفترض بعض النماذج أن التوزيع الطبيعي لديه تفلطح يساوي صفرًا، لذا فإن التفلطح الزائد سيكون أكثر أو أقل من صفر.
هل التفلطح هو نفسه الانحراف؟
لا. يقيس التفرطح مدى تمركز البيانات في توزيع احتمالي حول الوسط (المتوسط) مقابل الأطراف. بينما يقيس الانحراف مدى التماثل النسبي للتوزيع حول المتوسط.
الخلاصة
يشير التفلطح إلى مدى توزيع الاحتمالات في الأطراف بدلاً من المركز. في التوزيع الطبيعي، يكون التفلطح مساويًا لثلاثة (أو صفر في بعض النماذج). سيؤدي التفلطح الزائد الإيجابي أو السلبي إلى تغيير شكل التوزيع وفقًا لذلك.
بالنسبة للمستثمرين، فإن الفهم الجيد للالتواء (kurtosis) مهم لفهم مخاطر الذيل، أو مدى تكرار حدوث الأحداث "النادرة"، بناءً على الافتراضات المتعلقة بتوزيع عوائد الأسعار.