ما هو عدد أويلر (e)؟
يشير مصطلح "عدد أويلر (e)" إلى تعبير رياضي لأساس اللوغاريتم الطبيعي. يتم تمثيله برقم غير متكرر لا ينتهي أبدًا.
الأرقام الأولى لعدد أويلر هي 2.71828. يُرمز عادةً لهذا العدد بالحرف e ويُستخدم بشكل شائع في المسائل المتعلقة بـ النمو الأسي أو الانحلال. يمكنك أيضًا تفسير عدد أويلر كأساس لدالة أسية بقيمة تساوي دائمًا مشتقتها. بمعنى آخر، e هو العدد الوحيد الممكن بحيث يزيد ex بمعدل ex لكل قيمة ممكنة لـ x.
النقاط الرئيسية
- يُعتبر عدد أويلر ثابتًا مهمًا يوجد في العديد من السياقات ويُستخدم كأساس للوغاريتمات الطبيعية.
- يُمثل الرقم غير النسبي بالحرف e، وهو رقم أويلر الذي يساوي 2.71828...، حيث تستمر الأرقام إلى الأبد في سلسلة لا تنتهي أو تتكرر (مشابهة للعدد π).
- يُستخدم عدد أويلر في كل شيء بدءًا من تفسير النمو الأسي إلى التحلل الإشعاعي.
- في المالية، يُستخدم رقم أويلر لحساب كيفية نمو الثروة نتيجة للفائدة المركبة.
- لا تخلط بين عدد أويلر وثابت أويلر، وهو عدد غير نسبي وغير منتهي آخر يبدأ بـ 0.57721.
فهم عدد أويلر (e)
كما هو مذكور أعلاه، يُستخدم رقم أويلر للتعبير عن أساس اللوغاريتم الطبيعي. E هو سلسلة من الأرقام التي تبدأ بـ 2.71828. تمامًا مثل π (باي)، فهو عدد غير منتهي، مما يعني أنه يستمر بلا نهاية. كما أنه عدد غير نسبي، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه ككسر. يمكنك استخدامه لحساب الانخفاض أو النمو لعامل معين بمرور الوقت، مثل الفائدة المركبة interest.
تخيل إقراض المال بمعدل فائدة 100%، يتم حسابه بشكل مركب كل عام. بعد عام واحد، سيتضاعف مالك. ولكن ماذا لو تم تخفيض معدل الفائدة إلى النصف، وتم حسابه بشكل مركب مرتين في السنة؟ عند 50% كل ستة أشهر، سينمو مالك بنسبة 225% في عام واحد.
كلما أصبح الفاصل الزمني أصغر، تصبح العوائد الإجمالية أعلى قليلاً. إذا تم حساب الفائدة n مرة في السنة، بمعدل 100%/n، فإن الثروة المتراكمة الإجمالية في نهاية السنة الأولى ستكون أكبر قليلاً من 2.7 مرة من الاستثمار الأولي إذا كانت n كبيرة بما فيه الكفاية.
تاريخ عدد أويلر (e)
على الرغم من أن هذا المفهوم يرتبط عادةً بالرياضي السويسري ليونهارد أويلر ويحمل اسمه، إلا أنه تم اكتشافه لأول مرة في عام 1683 من قبل الرياضي جاكوب برنولي. كان يحاول تحديد كيف ستنمو الثروة إذا تم تركيب الفائدة بشكل متكرر أكثر، بدلاً من أن تكون على أساس سنوي.
لم يتم العمل الأكثر أهمية حول هذا الرقم إلا بعد عدة عقود لاحقًا، بواسطة ليونهارد أويلر. في كتابه "مقدمة في تحليل اللانهائيات" (1748)، أثبت أويلر أن هذا الرقم هو عدد غير نسبي، حيث لا تتكرر أرقامه أبدًا. كما أثبت أن الرقم يمكن تمثيله كمجموع لانهائي من مقلوبات المضاعفات:
e = 1 + 1/1 + 1/2 + 1/(1 × 2 × 3) + 1/(1 × 2 × 3 × 4) + ... + 1/n!
e = 1 + (1 مقسوم على 1) + (1 مقسوم على 2) + (1 مقسوم على 1 مضروب في 2 مضروب في 3) + (1 مقسوم على 1 مضروب في 2 مضروب في 3 مضروب في 4) + ... + (1 مقسوم على n!)
استخدم أويلر الحرف e للأسس، ولكن الحرف الآن مرتبط بشكل واسع باسمه. يُستخدم بشكل شائع في مجموعة واسعة من التطبيقات، بما في ذلك نمو السكان للكائنات الحية والتحلل الإشعاعي للعناصر الثقيلة مثل اليورانيوم من قبل العلماء النوويين. يمكن أيضًا استخدامه في علم المثلثات، والاحتمالات، ومجالات أخرى من الرياضيات التطبيقية.
لا ينبغي الخلط بين عدد أويلر (e) وثابت أويلر، الذي يُرمز له بالحرف اليوناني الصغير غاما (γ). يُعرف أيضًا باسم ثابت أويلر-ماسكيروني، وهو مرتبط بالسلسلة التوافقية ويبلغ قيمته تقريبًا 0.57721....
عدد أويلر (e) في التمويل: الفائدة المركبة
الفائدة المركبة تُعتبر معجزة في التمويل، حيث تُضاف الفائدة ليس فقط على المبالغ الأولية المستثمرة أو المودعة، ولكن أيضًا على الفائدة السابقة المستلمة. يتم تحقيق الفائدة المركبة بشكل مستمر عندما يتم إعادة استثمار الفائدة على وحدة زمنية صغيرة جدًا. وعلى الرغم من أن هذا غير ممكن عمليًا في العالم الحقيقي، إلا أن هذا المفهوم مهم لفهم سلوك العديد من أنواع الأدوات المالية المختلفة، من السندات إلى عقود المشتقات.
الفائدة المركبة بهذه الطريقة تشبه النمو الأسي، ويتم التعبير عنها بالصيغة التالية:
القيمة المستقبلية تساوي القيمة الحالية مضروبة في e مرفوعة للقوة rt حيث:
القيمة المستقبلية (FV) تساوي القيمة الحالية (PV) مضروبة في e مرفوعة للقوة rt
حيث:
- FV = القيمة المستقبلية
- PV = القيمة الحالية للرصيد أو المبلغ
- e = صيغة أويلر
- r = معدل الفائدة المركبة
- t = الزمن بالسنوات
لذلك، إذا كان لديك 1,000 دولار تدفع فائدة بنسبة 2% مع التركيب المستمر، بعد ثلاث سنوات سيكون لديك:
١٬٠٠٠ × ٢٫٧١٨٢٨ مرفوعة للقوة (٠٫٠٢ × ٣) = ١٬٠٦١٫٨٤ دولارًا أمريكيًا.
لاحظ أن هذا المبلغ أكبر مما لو كانت فترة التركيب فترة منفصلة، مثل التركيب على أساس شهري. في هذه الحالة، سيتم حساب مبلغ الفائدة بشكل مختلف: القيمة المستقبلية = القيمة الحالية (1 + معدل الفائدة / عدد الفترات) مرفوعة لعدد الفترات مضروبة في الزمن، حيث أن عدد الفترات هو عدد فترات التركيب في السنة (في هذه الحالة، 12):
$1,000 \left( 1 + \frac{0.02}{12} \right)^{12 \times 3} = $1,061.78$
المعادلة توضح كيفية حساب الفائدة المركبة على مبلغ 1,000 دولار أمريكي بمعدل فائدة سنوي قدره 2%، حيث يتم تركيب الفائدة شهريًا لمدة ثلاث سنوات. النتيجة النهائية هي 1,061.78 دولار أمريكي.
هنا، الفرق هو فقط بضعة سنتات، ولكن مع زيادة مبالغنا، وارتفاع أسعار الفائدة، وزيادة مدة الزمن، يصبح التركيب المستمر باستخدام ثابت أويلر أكثر قيمة مقارنةً بالتركيب المتقطع.
لماذا يُعتبر عدد أويلر مهمًا؟
يظهر رقم أويلر بشكل متكرر في المشكلات المتعلقة بالنمو أو الانحلال، حيث يتم تحديد معدل التغيير بواسطة القيمة الحالية للرقم الذي يتم قياسه.
مثال على ذلك في علم الأحياء، حيث يُتوقع أن تتضاعف أعداد البكتيريا في فترات زمنية موثوقة. حالة أخرى هي التأريخ الإشعاعي، حيث يُتوقع أن ينخفض عدد الذرات المشعة على مدى نصف العمر الثابت للعنصر الذي يتم قياسه.
كيف يُستخدم عدد أويلر في التمويل؟
يظهر رقم أويلر في المسائل المتعلقة بالفائدة المركبة. عندما يقدم استثمار معدل فائدة ثابت على مدى فترة زمنية، يمكن حساب القيمة المستقبلية لهذا الاستثمار بسهولة باستخدام e.
ما هو عدد أويلر بالضبط؟
ببساطة، يُعتبر عدد أويلر أساس دالة أسية يكون معدل نموها دائمًا متناسبًا مع قيمتها الحالية. تنمو الدالة الأسية (e^x) دائمًا بمعدل (e^x)، وهي خاصية لا تنطبق على الأسس الأخرى وتبسط بشكل كبير الجبر المتعلق بالأسس واللوغاريتمات. هذا الرقم غير نسبي، وتبلغ قيمته حوالي 2.71828....
الخلاصة
يُعتبر عدد أويلر واحدًا من أهم الثوابت في الرياضيات. يظهر بشكل متكرر في المسائل التي تتعامل مع النمو أو الانحلال الأسي، حيث يكون معدل النمو متناسبًا مع السكان الحاليين. في مجال المالية، يُستخدم e أيضًا في حسابات الفائدة المركبة، حيث تنمو الثروة بمعدل ثابت على مر الزمن.
تصحيح—5 ديسمبر 2021: النسخة السابقة من هذه المقالة خلطت بشكل غير صحيح بين عدد أويلر وثابت أويلر.